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111新竹女中

111新竹女中

一、填充題
二、計算證明題
1. 證明幾何分布的變異數
2. 目前為0A4B,請給出一個策略並可在三次內完成
3. (待定)

時間90分鐘
進複試門檻:35分

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2022-4-21 16:19, 下載次數: 4263

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竹女已經上傳官方版

111.4.21補充
將題目移到第一篇文章

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寫過最難的一份考卷.....小弟只能拋磚引玉寫幾題會的提供想法給各位參考

2.
令二階方陣\(E_k=\left[\matrix{cosk^{\circ}&sink^{\circ}\cr sink^{\circ}&-cosk^{\circ}}\right]\),則2022個方陣的乘積\(E_1E_2E_3\ldots E_{2002}=\)   
[解答]
\(\displaystyle E_kE_{k+1}\)可以合成一個順時針旋轉\(1^{\circ}\)的旋轉矩陣,共有1011組,取同界角為\(69^{\circ}\)

4.
五邊形\(ABCDE\),在頂點\(A\)有一隻青蛙,每次青蛙會隨機往一個相鄰的頂點跳躍(也就是往相鄰的機率皆為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)),當再跳到\(A\)的時候即停止跳動。則該青蛙跳躍次數的期望值為   
[解答]
假設從B,E到A的期望值為x  C,D到A的期望值為y
可以列式 \(\displaystyle x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1+y) , y=\frac{1}{2}(1+x)+\frac{1}{2}(1+y)\)
解得\((x,y)=(4,6)\)
因為從A出發的第一步必得是往B或是E,所以所求為4+1=5

5.
已知平面上三點\(A(8,9)\)、\(B(40,136)\)、\(C(103,90)\),則在\(\Delta ABC\)內部(不包含邊界)有   個格子點。
[解答]
用皮克定理: \(\displaystyle A=n+\frac{1}{2}S-1\),其中 S為邊上格子點數量,n為內部格子點數量
這題數字也算是有配好,因為可以發現邊上的格子點,除了頂點外根本沒有,所以S=3
剩下的就只能真的土法煉鋼硬算面積了
\(\displaystyle \frac{9473}{2}=\frac{3}{2}+n-1 \Rightarrow n=\frac{9472}{2}=4736\)

10.
已知\(I\)為\(\Delta ABC\)的內心,且\(4\vec{IB}+4\vec{IC}=-5\vec{IA}\),設\(R\),\(r\)分別為\(\Delta ABC\)的外接圓半徑與內切圓半徑,若\(r=15\),則
\(R\)之值為   
[解答]
很笨的方法 直接改寫向量 \(\displaystyle \vec{AI}=\frac{4}{13}\vec{AB}+\frac{4}{13}\vec{AC}\)
延長\(\displaystyle \overline{AI}\)交\(\overline{BC}\)於D
可得\(\displaystyle \overline{AI}:\overline{ID}=8:5\) ,直接設\(\displaystyle \overline{AI}=8,\overline{ID}=5\)
接下來即可求出邊長比\(\displaystyle a:b:c=5:4:4\)
利用\(\displaystyle \frac{R}{r}=\frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)}\),即可求出\(R=32\)

好幾題回去想才發現根本沒那麼難... 90分鐘真的夠趕...

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第一題
下圖的積木為索碼立方體中的其中一塊元件,它是由四塊小正方體組成。假設小正方體的邊長為1,則將這個元件平穩地置於桌面上時,它所有可能高度的最大值為   。(下面示意圖的高度為2)
附圖

第九題:
有一台電腦每秒以相同的機率輸出一個數字1或\(-1\),若令\(p_n\)為輸出的前\(n\)個數字和為3的倍數之機率,則\(p_n\)的一般式為   。(以\(n\)表示)
[答案]
\(p_{n}=\frac{1}{2}(1-p_{n-1})\)

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2022-4-21 20:45

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填充第八題
在下圖\(3\times 3\)方格表中,每一個方格均被塗上藍、黃、紅、黑四種顏色之一,相鄰方格不同色,若該方格表中恰有兩格塗上藍色,且藍色不可塗在中間及角落方格上(標號奇數的位置),則符合條件的著色方法有   種。
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[解答]
分享自己的解法 提供參考
題目的黃紅黑很難寫我直接改成ABC應該比較好判讀

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2022-4-21 22:19

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計算第 3 題
在正十邊形中,連接其中七條對角線,使其分割成八個互不重疊的三角形,這種分割方式我們將其稱之為正十邊形的三角化。請問在正十邊形中,有幾種三角化的方式,會使得分割出來的八個三角形中恰有一個銳角三角形。
[解答]
那個唯一的銳角三角形,是圖中黃色三角形
分左圖和右圖兩種情形討論

左圖的綠色五邊形有 5 種分成 3 個鈍角三角形的方法
右圖的紅色四邊形有 2 種分成 2 個鈍角三角形的方法

故左圖有 5 * 5 * 1 = 25 種分法,右圖有 2 * 2 * 5 = 20 種分法

由於每圖都可旋轉出 10 種,故所求 = (25 + 20) * 10 = 450 種分法

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2022-4-21 22:54

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填充7
平面上的點\(P(x,y)\)滿足
(i)\(x^2\le 1\);
(ii)從\(P\)點可向\(y=2x^3+6x^2-1\)的圖形作出三條相異切線,
則滿足上述條件之\(P\)點所形成的區域面積為   
[解答]

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2022-4-22 14:54

20220422_145302.jpg

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填充12.
在正方體\(ABCD-EFGH\)中,\(M\)為\(\overline{GH}\)中點,平面\(AFM\)將正方體分割成體積為\(V_1\)、\(V_2\)的兩部分(其中\(V_1\le V_2\)),則\(\displaystyle \frac{V_1}{V_2}\)的值為   
[解答]
這種題目首要目標就是找出切面方程式\(x-2y+2z=2\)
然後對著每一條邊長找出交點,超過的就畫延長線找交點
這題比去年南女簡單一點不需要找\(y\)軸上的點就可以求體積
最後就是想辦法拿大四面體扣除外面的小四面體了
\(\displaystyle V_1=\frac{1}{2}\times4\times2\times2\times\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\times2\times1\times1\times\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\)

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2022-4-22 17:35

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填充11,取得到面積的最大值嗎?

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