111嘉義高中

如題，考試時間90分鐘。

填18
若數列\(\langle\;a_k\rangle\;_{k=1}^{\infty}\)滿足\(a_1=1\)、\(a_2=2\)且\(a_{n+2}\cdot a_n+6a_{n+2}\cdot a_{n+1}=a_{n+1}\cdot a_n\)，其中\(n \in N\)，則\(a_n\)=　　　(以\(n\)表示)
[解答]
a(n+2)*a(n)+6a(n+2)*a(n+1)=a(n+1)*a(n)
a(n+2)[a(n)+6a(n+1)]=a(n+1)*a(n)
1/a(n+1) +6/a(n)=1/a(n+2) [ 令b(n)=1/a(n) ]
整理得b(n+2)-b(n+1)-6*b(n)=0---------(*)
且b(1)=1----------① ,b(2)=1/2 ----------②
(*)的特徵值x符合 x² -x-6=(x-3)(x+2)=0
解得x=3,-2 ,假設b(n)=c1*3^n+c2*(-2)^n---------③
由①②③ 解出c1=1/6 ,c2= -1/4
整理得 a(n)=1/b(n) = 2 / [ 3^(n-1) +(-2)^(n-1) ]  , n∈ℕ

填19
\(x,y \in R\)，則\(\cases{\displaystyle \sqrt{x}\left(1+\frac{1}{x+y}\right)=2 \cr \sqrt{y}\left(1-\frac{1}{x+y}\right)=\sqrt{2}}\)之解\((x,y)\)為　　　
[解答]
1+1/(x+y)=2/√x ----------①
1-1/(x+y)=√2/√y----------②
①²- ②² 得4/(x+y)=4/x- 2/y
整理得x²+xy-2y²=0
(x+2y)(x-y)=0 ,x=y (x= -2y不合∵x,y∈ℝ)
x=y代入①整理得4x²-12x+1=0
解出數對(x,y)=( (3+2√2)/2 , (3+2√2)/2 )
[註:x=y=(3-2√2)/2代入②不合]

16.
設函數\(f(x)=x^2-x\)的圖形為\(\Gamma\)，且\(Q(2,1)\)為\(\Gamma\)外一點，已知過\(Q\)點有兩條直線與\(\Gamma\)相切，求\(\Gamma\)與這兩條直線所圍成的區域面積為　　　。

求過\(\displaystyle P(\frac{3}{2},3)\)而與拋物線\(\tau\)：\(y=-x^2+4x-3\)相切的二切線與拋物線\(\tau\)所圍區域的面積為　　　。
(98彰化女中，老王解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1331)

18.
若數列\(\langle\;a_k\rangle\;_{k=1}^{\infty}\)滿足\(a_1=1\)、\(a_2=2\)且\(a_{n+2}\cdot a_n+6a_{n+2}\cdot a_{n+1}=a_{n+1}\cdot a_n\)，其中\(n\in \mathbb{N}\)，則\(a_n=\)　　　。

一個實數數列\(\{\;a_n \}\;\)滿足\(a_{n+1}a_n-5a_{n+2}a_n+6a_{n+2}a_{n+1}=0\)，\(\displaystyle a_1=1\)，\(\displaystyle a_2=\frac{1}{4}\)，求一般項\(a_n=\)　　　。
(96中一中，https://math.pro/db/thread-1343-1-1.html)

想請教第10題，謝謝～

第 10 題
設二次曲線\(\Gamma\)：\(9x^2+16y^2-18x-64y-71=0\)與直線\(L\)：\(2x-5y-10=0\)，若要在\(\Gamma\)上找一點\(P\)使得\(P\)到\(L\)的距離最短，則\(P\)的坐標為　　　
[解答]
9x^2 + 16y^2 - 18x - 64y - 71 = 0
(x - 1)^2 / 4^2 + (y - 2)^2 / 3^2 = 1
令 P(4cosθ + 1，3sinθ + 2)

P 到 2x - 5y - 10 = 0 的距離 = | 8cosθ - 15sinθ - 18| / √29 要最小
故 8cosθ  - 15sinθ = 17
由疊合可知
cosθ = 8/17，sinθ = -15/17

P(49/17，- 11/17)

請教最後一題的想法是同乘1-p移位消去嗎?  

解到一半生不出來，還是有其他想法呢?

第 20 題
若\(0<p<1\)，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^3(1-p)^{n-1}p=\)　　　(以\(p\)表示)
[解答]
n^3 = n(n - 1)(n - 2) + 3n(n - 1) + n

再利用
Σp^n = p/(1 - p)
Σnp^(n - 1) = [p/(1 - p)]' = 1/(1 - p)^2
Σn(n - 1)p^(n - 2) = [1/(1 - p)^2]' = 2/(1 - p)^3
Σn(n - 1)(n - 2)p^(n - 3) = [2/(1 - p)^3]' = 6/(1 - p)^4

感謝鋼琴老師，對於C連加會想到要這樣重收。

以為是同乘類公比移位消去算S的方式。

原來可以以微分再重新利用sigma拆開，受教了。

\(\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\ldots\)，\(|\;x|\;<1\)
微分再乘\(x\)，\(\displaystyle \frac{x}{(1-x)^2}=1\cdot x+2\cdot x^2+3\cdot x^3+\ldots\)，\(|\;x|\;<1\)
微分再乘\(x\)，\(\displaystyle \frac{x^2+x}{(1-x)^3}=1^2 \cdot x+2^2 \cdot x^2+3^2 \cdot x^3+\ldots\)，\(|\;x|\;<1\)
微分，\(\displaystyle \frac{x^2+4x+1}{(1-x)^4}=1^3+2^3\cdot x+3^3 \cdot x^2+\ldots\)，\(|\;x|\;<1\)
\(x\)用\(1-p\)代，\(\displaystyle \frac{(1-p)^2+4(1-p)+1}{p^4}=1^3+2^3(1-p)+3^3(1-p)^2+\ldots\)，\(|\;p|\;<1\)
再乘\(p\)，\(\displaystyle \frac{p^2-6p+6}{p^3}=1^3p+2^3(1-p)p+3^3(1-p)^2p+\ldots\)，\(|\;p|\;<1\)

考場時是這樣解，不過再搭配幾何分布，有些東西就不用算這麼久
設X為幾何分布(試驗成功機率為p)的隨機變數

\(\displaystyle E(X)=\sum^\infty_{n=1}n(1-p)^{n-1}p=\frac{1}{p}\)，\(\displaystyle E(X^2)=\sum^\infty_{n=1}n^2(1-p)^{n-1}p=Var(X)+(E(X))^2=\frac{2-p}{p^2}\)

設\(\displaystyle S=\sum^\infty_{n=1}n^3(1-p)^{n-1}p\)

則\(\displaystyle (1-p)S=\sum^\infty_{n=1}n^3(1-p)^{n}p=\sum^\infty_{t=2}(t-1)^3(1-p)^{t-1}p=\sum^\infty_{t=1}(t-1)^3(1-p)^{t-1}p=\sum^\infty_{n=1}(n-1)^3(1-p)^{n-1}p\)

所以\(\displaystyle pS=S-(1-p)S=\sum^\infty_{n=1}(n^3-(n-1)^3)(1-p)^{n-1}p=\sum^\infty_{n=1}(3n^2-3n+1)(1-p)^{n-1}p=3E(X^2)-3E(X)+1\)


所以\(\displaystyle S=\frac{1}{p}\frac{6-3p-3p+p^2}{p^2}=\frac{p^2-6p-6}{p^3}\)

想法是從\(\displaystyle \sum^\infty_{n=1}n^3(1-p)^{n-1}p=E(X^3)\)想到要用幾何分布的資訊去推的

說來慚愧，考試時忘了幾何分布的變異數，所以考場當時只能全部重推，結果太緊張仍推錯了