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111 全國高中職聯招

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111 全國高中職聯招

如附件~

很多考古題

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03-5003數學科試題含答案(公告用).pdf (357.3 KB)

2022-5-14 15:10, 下載次數: 1154

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選擇題
3.
若\(a\)、\(b\)為實數,則\(\sqrt{(4-b)^2+3^2}+\sqrt{(a-b)^2+a^2}+\sqrt{(4-a)^2+(3-a)^2}\)之最小值為何?
(A)\(4\sqrt{2}\) (B)\(5\sqrt{2}\) (C)\(2\sqrt{10}\) (D)\(3\sqrt{10}\)

4.
小明到畫廊賞畫,牆壁上懸掛一幅山水畫\(AB\),\(A\)點,\(B\)點分別離地4公尺,2公尺高,若小明的眼睛\(C\)離地1.5公尺高,則\(C\)離牆壁多遠時,他對該幅「山水畫」的視角\(\theta\)最大?
(A)\(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}\)公尺 (B)\(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}\)公尺 (C)\(\sqrt{5}\)公尺 (D)\(2\sqrt{5}\)公尺

5.
\(A,B,C\)分別為正立方體三稜的中點,則過\(A,B,C\)三點的平面與此正立方體的截痕形狀為何?
(A)六邊形 (B)五邊形 (C)四邊形 (D)三角形

右圖為一正立方體,\(A\)、\(B\)、\(C\)分別為所在的邊之中點,通過\(A\)、\(B\)、\(C\)三點的平面與此立方體表面相截,問下列何者為其截痕的形狀?
(A)直角三角形 (B)非直角三角形 (C)正方形 (D)非正方形的長方形 (E)六邊形
(105嘉義高中科學班,https://math.pro/db/thread-2874-1-1.html)

7.
求值\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(4n+1)^2+(4n+2)^2+(4n+3)^2+\ldots+(4n+3n)^2}{n^3}\)
(A)24 (B)33 (C)93 (D)279

12.
已知圓周上有8個不同的等分點,選出正確的選項:
(A)以這些點為頂點,可決定24個直角三角形
(B)以這些點為頂點,可決定24個鈍角三角形
(C)以這些點為頂點,可決定8個銳角三角形
(D)以這些點為頂點,可決定70個四邊形

設\(n\)為正整數,\(n\ge 3\)。
(1)自圓之內接正\(2n\)邊形的頂點任取三點為三角形的頂點,則可做成多少個銳角三角形?
(2)自圓之內接正\(2n+1\)邊形的頂點任取三點為三角形的頂點,則可做成多少個銳角三角形?
(103復興高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1892&page=2#pid10516)

填充題
5.
以之實數\(a>1\),正方形\(ABCD\)的面積為144,其中\(\overline{AB}\)與\(x\)軸平行,且\(A\)、\(B\)、\(C\)分別為函數\(y=log_a x\),\(y=2log_a x\),\(y=3log_a x\)圖形上的點,試求\(a^3+a^{-3}=\)   

6.
設\(f(x)=x^3+3x^2-4x-2\),\(g(x)=x^4+6x^3+5x^2-16x-2\),且\(\alpha,\beta,\gamma\)為\(f(x)=0\)的三個根,則\(\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=\)   
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=807&page=1#pid1652

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複選12
(A) ,(B): 請參考圖示
(C): C(8,2)-(A)的答案-(B)的答案
       =56-24-24=8
(D):C(8,4)=70

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-5-14 23:11 編輯 ]

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計算2(1)

\(\ln x = \int_1^x \frac{1}{t} \, dt \)
搭配微積分基本定理,即可得\( \ln x\)的微分為\( \frac{1}{x} \)

採用這個定義方式和思路,題目\(e\)的條件就用不到了

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填8  (今年111中科實中,一模一樣題目)
所求面積
= [(√2)/2]² *π*2 +(√2)²
=π+2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-5-14 16:21 編輯 ]

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111全國高中職聯招填8.jpg (85.07 KB)

2022-5-14 15:47

111全國高中職聯招填8.jpg

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引用:
原帖由 呆呆右 於 2022-5-14 15:44 發表
\(\ln x = \int_1^x \frac{1}{t} \, dt \)
搭配微積分基本定理,即可得\( \ln x\)的微分為\( \frac{1}{x} \)

採用這個定義方式和思路,題目\(e\)的條件就用不到了
前面有給e的定義,出題老師的用意應該是要考生用導函數定義去做
不曉得直接用微積分基本定理會不會給分

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#計算1
先算出a_n ,列式, 反有理化

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-5-14 22:27 編輯 ]

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1652535685696.jpg (38.22 KB)

2022-5-14 21:48

1652535685696.jpg

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回覆 6# Ellipse 的帖子

計算2.(1) 的確像橢圓老師說的,出題者很可能有此意思

但題意條件不夠明確的情況下,就會不清楚是用哪些定義

以中學的觀點可能會比較接受 \( \ln x \) 是 \( e^x \) 的反函數

所以需要先知道或證明 \( e^x \) 的導函數還是 \( e^x \)
(中學觀點可以先接受有指數律,那就至少需要 \( \lim_{x\to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1 \) )

如果連 \( e^x \) 的導函數也要證明,那很可能需要更一步的指數函數定義:

\( e^x = \displaystyle \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n \)

考試的時候,考生很難把握,什麼可以直接用、什麼需要證明才能使用
網頁方程式編輯 imatheq

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1.帶入硬算
2.配成無2次式
3.將(4,3)分別對x=y和x=0作兩次鏡射
4.tan合角
5.延邊切
6.對稱方程
7.7n-4n
8.9的倍數
填充
1.微分
2.半角
3.排列
4.複數極式
5.解聯立
6.g(x)除f(x)得一次餘式,所求為f'(x)/f(x)
7.2^10-C(10,0)-C(10,1)-C(10,2)
8.如橢圓老師所解
9.判別式0,解聯立

[ 本帖最後由 cut6997 於 2022-5-15 00:41 編輯 ]

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計算二-2

不曉得有無其他解法

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