109台中女中段考題

6.
坐標平面上，設\(A(0,0)\)、\(B(2,6)\)，若動點\(P\)滿足\(\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=k>1\)，則下列敘述哪些正確？
(1)\(A\)與\(B\)兩點可能同時落在滿足\(\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=k\)的動點軌跡圖形所圍成的封閉區域內。
(2)若\(k_1>k_2>1\)，則滿足\(\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=k_1\)與\(\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=k_2\)的兩個動點軌跡圖形可能相交。
(3)若\(k_1>k_2>1\)，則滿足\(\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=k_1\)的動點軌跡圖形所圍成的封閉區域面積為\(R_1\)，又滿足\(\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=k_2\)的動點軌跡圖形所圍成的封閉區域面積為\(R_2\)，則\(R_1>R_2\)。
(4)若動點\(P\)亦為鉛直線\(x=10\)上一點，且使得\(k\)為最大值，則\(P\)滿足不等式組\(\cases{3x-y\ge 0\cr x+3y-10\ge 0}\)。
(5)若動點\(P\)亦為鉛直線\(x=10\)上一點，且使得\(k\)為最大值，則\(P\)滿足不等式組\(\cases{3x-y=0\cr x=10}\)。

請教各位大神
第4個選項要怎麼用幾何的方法把k算出來呢？
我只會暴力解配方出圓心及半徑的方法

111.3.22補充
台中女中考古題，110學年度僅提供校內下載
https://itcgs.tcgs.tc.edu.tw/ischool/publish_page/12/?cid=172

阿波羅尼斯圓，參考老王的大作
https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5121541

不過這題考高中生，應該用算幾就可以囉

設(10,y) 則\(\displaystyle \overline{PA}=\sqrt{100+y^2}, \overline{PB}=\sqrt{64+(y-6)^2}\)
\(\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=\frac{\sqrt{100+y^2}}{\sqrt{64+(y-6)^2}}\)
令\(\displaystyle \frac{\overline{PA}^2}{\overline{PB}^2}\)為\(k\)
得到\(\displaystyle y^2+100=ky^2+12ky+100k\) 化簡得\(\displaystyle (1-k)y^2-12ky+(100-100k)=0\)
因\(\displaystyle y\in \mathbb{R}\) 得到\(\displaystyle 144k^2-400(1-k)^2\geq 0\)

解得\(\displaystyle \frac{5}{8}\leq k \leq \frac{5}{2}\) 最大值為 \(\displaystyle \frac{5}{2}\)
代回去原式子解得此時\(y=10\) 即P(10,10) 之後驗證即可

後記: 算幾也可以 而且還比較簡單...

能否分享整份題目？

謝謝以上各位，
其實我蠻好奇這張段考學生平均幾分XD

您可以以geogebra 繪圖去觀察,k=1時,所得到的圖形就是AB中垂線:x+3y-10=0,然後您讓k=1.1,1.2越來越大時,所得到的阿波羅圓就越來越小,直到此圓與x=10 相切,就可得到k的最大值(=ㄏ2.5),而此切點就是P點,當然就會在直線x=10上
以及AB中垂線:x+3y-10=0的上方(x+3y-10>0)以及AB直線:3x-y=0的下方(3x-y>0),故(4)的選項顯然正確，無須計算的。也可順便看出(5)是錯的.

我知道不用計算就可以判斷出答案，只是好奇如果想算出來怎麼算比較好，謝謝

請問算幾怎麼用呢？謝謝

P(10，t)

PA/PB = √[(t^2 + 100)/(t^2 - 12t + 100)]

= √[1 + (12t)/(t^2 - 12t + 100)]

= √[1 + 12/(t - 12 + 100/t)]

≦ √[1 + 12/(20 - 12)]

= √(5/2)