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97附中第二次填第12題

本主題由 bugmens 於 2021-8-15 12:45 合併
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97附中第二次填第12題

模的題目
在密碼學中,對於英文,人們將26個字母按順序分別對應整數0到25。現有4個字母構成的
密碼單詞,記4個字母對應的數位分別為x(1),x(2),x(3),x(4)。已知:整數x(1)+2x(2),3x(2),x(3)+2x(4),3x(4)除以26的餘數分別為9,16,23,12,則密碼的單詞是?

註( )中的數字表示下標

此提示在考模的題目
答案是HOPE
很漂亮的題目
請問此題命題來源為何

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引用:
原帖由 ksjeng 於 2009-3-13 04:21 PM 發表
模的題目
在密碼學中,對於英文,人們將26個字母按順序分別對應整數0到25。現有4個字母構成的
密碼單詞,記4個字母對應的數位分別為x(1),x(2),x(3),x(4)。已知:整數x(1)+2x(2),3x(2),x(3)+2x(4),3x(4)除以26的餘數分別為9,16,23,12,則密碼的單詞是?

註( )中的數字表示下標

此提示在考模的題目
答案是HOPE
很漂亮的題目
請問此題命題來源為何
已知
\[x_1 +2x_2 \equiv 9 \pmod{26} ......(1)\]
\[3x_2 \equiv 16 \pmod{26} ......(2)\]
\[x_3 +2x_4 \equiv 23 \pmod{26} ......(3)\]
\[x_4 \equiv 12 \pmod{26} ......(4)\]

先找尋 \(3\) 的乘法反元素,先找尋 \(3x+26y=1\) 的任何一組整數解,

(可以利用 \(3\) 跟 \(26\) 作輾轉相除法,或是尤拉法,或是直接聯想都可以)

解得 \(3\times 9 + 26\times \left(-1\right) =1\) ,因此

\[3\times 9 \equiv 1 \pmod{26}\]

也就是找到了 \(\pmod {26}\) 的完全剩餘系統(complete residue system)中, \(3\) 的乘法反元素是 \(9\),

在(2)與(4)中,左右同時乘上 \(9\),可得
\[ 27 x_2 \equiv 144 \pmod{26}  ⇒  x_2 \equiv 14 \pmod{26}\]
\[27 x_4 \equiv 108 \pmod{26}  ⇒  x_4 \equiv 4 \pmod{26}\]

再帶入在(1)與(3)中,可得
\[x_1 \equiv 9 -2 x_2 \equiv -19 \equiv 7 \pmod{26}\]

\[x_3 \equiv 23 -2x_4 \equiv 15 \pmod{26}\]

因此,可得 \(x_1, x_2, x_3, x_4 \pmod{26}\) 分別同餘到 \(7,14,15,4\)

也就是,對應到字母 \(h, o, p, e\).




以上是利用整數論中的同餘,來解題的。

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數論功力果然深厚
我是使用
a≡b(mod m)則m|a-b的定理

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97師大附中第二次

2.
平面上的格子點(\(x,y\)座標均為整數的點)到直線\(\displaystyle y=\frac{5}{3}x+\frac{4}{5}\)的距離中最小值為   
請教如何解題

附件

97師大附中第二次.zip (70.87 KB)

2021-1-23 04:41, 下載次數: 2661

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97師大附中第二次

我設法畫出梯形後就卡住了
題目的所求應改為線段BC=8吧?

在四邊形ABCD中,\( \overline{AD}// \overline{BC} \),\( ∠D=2∠B \),\( \overline{AD}=3 \),\( \overline{CD}=5 \),則\( \overline{AD}=8 \)。

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在四邊形 \(ABCD\) 中,\(AD//BC,\;\angle D = 2\angle B,\;\overline{AD}=3,\;\overline{CD}=5\),則 \(\overline{AB}\)=?


或許題目寫錯了吧。 ^__^

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老師好
經過您與亞斯老師的確認
都認為題目出錯了
我心中大石就可以放下了
謝謝您喔

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經亞斯老師協助
使用\(ax+by=(a,b)\)時有整數解來解題
謝謝老師們無私的付出

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回復 2# ksjeng 的帖子

這題目該如何下筆?寸絲講義的提示是\(5x-3y-4=0\)

剛剛算出來了。。晚點空堂,把答案貼上來。

附件

IMG_20140502_111907.JPG (179.82 KB)

2014-5-2 11:19

IMG_20140502_111907.JPG

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回復 3# shingjay176 的帖子

一個筆誤,我把常數項不小心寫錯了

應為 \( 5x - 3y + \frac{12}{5} =0 \),因 3,5 互質,可得 \( 5x-3y \) 的取值範圍為所有整數

故所求 = \( \displaystyle \frac{\frac25}{\sqrt{5^2+3^2}} = \frac{\sqrt{34}}{85}\)
網頁方程式編輯 imatheq

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