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110臺北市高中聯招

本主題由 bugmens 於 2021-5-17 05:47 合併
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110臺北市高中聯招

請教計算第 3 題、第 4 題

110.05.12
試題疑義後,多選第 3 題原答案 ACDE 改成 ACD 。

[ 本帖最後由 Superconan 於 2021-5-14 00:32 編輯 ]

附件

03數學科試題.pdf (433.84 KB)

2021-5-9 18:20, 下載次數: 1532

03數學科參考答案.pdf (102.14 KB)

2021-5-9 18:20, 下載次數: 1333

1100512筆試疑義.PNG (108.07 KB)

2021-5-14 00:31

1100512筆試疑義.PNG

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二、非選擇題
(一)填充題
2.
求方程式\(\root 3\of{(10+x)^2}+\root 3\of{(3+x)^2}=\root 3\of{(10+x)(-3-x)}+7\)的所有解。
(91台灣師大推薦甄試,97中和高中,https://math.pro/db/thread-2418-1-1.html)

解方程\(\root 3\of{(8-x)^2}+\root 3\of{(27+x)^2}=\root 3\of{(8-x)(27+x)}+7\)?
(高中數學競賽教程P388)

3.
將4個a,2個b及2個c共8個字母排成一列,則相同字母不相鄰的排法有幾種?
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1610&page=1#pid8194

4.
已知\(f(x)\)為10次多項式,且滿足\(\displaystyle f(k)=\frac{1}{k},k=1,2,3,\dots,11\),求\(f(12)\)之值。
請參閱https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

7.
已知\(n\)為正整數,且方程式\(x^{10}+(nx-1)^{10}=0\)的10個複數根為\(z_k,\overline{z_k}(k=1,2,3,4,5)\),求\(\displaystyle \sum_{k=1}^5\frac{1}{z_k \overline{z_k}}\)。(以\(n\)表示)
(1994AIME,https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_13)

103大同高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1873&page=2#pid10169

107建國中學,https://math.pro/db/thread-2946-1-5.html

二、計算證明題
1.
五人進行「剪刀、石頭、布」的猜拳,五人同時出拳,若能分出勝負(例如:兩人出剪刀,三人出石頭時,算是分出勝負;但五人都出剪刀時,不算分出勝負),則猜拳停止;若分不出勝負,則繼續猜拳,直到分出勝負為止。試求猜拳次數的期望值。

以剪刀,石頭,布猜拳。
(a)若兩人猜,平均要猜幾次才分勝負。
(b)現有三人一起猜拳(三人一起出拳)。若兩人勝一人,則勝者二人繼續猜。若一人勝二人,此人勝出。問平均要猜幾次,才能剛好有一人勝出。
(95台大數學甄選入學)

2.
在坐標平面上,\(A,B,C\)三點形成直角三角形,其中\(∠C=90^{\circ}\),\(\overline{AB}\),又過\(A\)與\(B\)兩點的中線方程式分別為\(y=x+2021\)與\(y=2x+110\)。試求三角形\(ABC\)的面積。

老師要求小明用已知的\(A\)、\(B\)、\(C\)三個點求出\(\Delta ABC\)的三條中線方程式,但小明求出其中兩條中線的方程式為\(x+y=1\)、\(3x+2y=4\)後,卻忘了頂點\(A(2,1)\)以外的兩個點之坐標。若\(G\)為\(\Delta ABC\)之重心,請選出正確的選項。
(1)重心\(G\)為\((2,-1)\)
(2)點\(D(2,-2\)為\(∠A\)對邊的中點
(3)\(6,-7\)為\(\Delta ABC\)其中一個頂點
(4)\(\vec{AB}\)與\(\vec{AG}\)在\(\vec{AC}\)上的正射影向量相同
(5)\(\Delta ABC\)的面積為24
(102台中區模擬考,https://math.pro/db/thread-10-1-1.html)

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回復 1# Superconan 的帖子

計算3.
設 A對DE的對稱點為F,  a=角BAF
則 AF/sin60度=1/sin(60度+a) ,  
     AD=(AF/2)/cosa=ㄏ3/[ 4sin(60度+a)*cosa]
          =ㄏ3/[ 4(sin60度*cosa+cos60度*sina)*cosa]
          =ㄏ3/[sin(2a)+ㄏ3*cos(2a)+ㄏ3]>=ㄏ3/(2+ㄏ3)=2ㄏ3-3,此數為所求
         此時 a=15度 , AE<AE/sin75度=AD/sin45度<1/2/sin45度<1,D在AB上,E在AC上,沒有問題

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-9 20:02 編輯 ]

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計算三 垂直時會有最小值
想問計算2

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261E442E-4DB9-4F76-9954-BBF7B0010219.jpeg (85.04 KB)

2021-5-9 19:35

261E442E-4DB9-4F76-9954-BBF7B0010219.jpeg

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回復 1# Superconan 的帖子

計算4(1)
\(a_{n}=\int^{1}_{0}(1-x^{2})^{n/2}dx\)
\( \ \ \ =\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n}{\theta}d{\sin{\theta}}(=\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n+1}{\theta}d{\theta}\))
\( \ \ \ =\cos^{n}{\theta}\sin{\theta}|^{\pi/2}_{0}+\int^{\pi/2}_{0}n\cos^{n-1}{\theta}\sin^{2}{\theta}d{\theta}\)
\( \ \ \ =n\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n-1}{\theta}(1-\cos^{2}{\theta})d{\theta}\)
\( \ \ \ =n\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n-1}{\theta}d{\theta}-n\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n+1}{\theta}d{\theta}\)
\( \ \ \ =na_{n-2}-na_{n}\)
整理得
\(\displaystyle a_{n}=\frac{n}{n+1}a_{n-2}\)



計算4(2)
考慮 \(0\leq \theta \leq \pi/2\Rightarrow0\leq \cos{\theta}\leq 1\Rightarrow\cos^{n}{\theta}\) 遞減\(\Rightarrow a_{n}\) 遞減
即 \(\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n}}\leq \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}}=1\)
又因 \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+2}}{a_{n}}=1\)
由夾擠定理得 \(\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2021-5-9 20:35 編輯 ]

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計算第 2 題
中山大學雙週一題
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2014s/2ans.pdf
103 臺中女中也考過類似題

計算第 3 題
97 年數學能力競賽嘉義區複賽 第 3 題
http://e-tpd.kssh.khc.edu.tw/sys/read_attach.php?id=3824

110.5.10版主補充
97高中數學能力競賽,https://math.pro/db/thread-919-1-1.html

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填充7.

令 w=cos18度+isin18度 , nx-1=x*w^(2k+1)  =>  x=1/(n-w^(2k+1)) ,k=0,1,2..9
所求=(n-w)(n-w^19)+(n-w^3)(n-w^17)+(n-w^5)(n-w^15)+(n-w^7)(n-w^13)+(n-w^9)(n-w^11)
       =5n^2+5

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-9 21:36 編輯 ]

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回復 4# flyinsky218 的帖子

計算2另解
設 \(\overline{BC}=2a\),中點為 \(M_{A} \)、\(\overline{AC}=2b\),中點為 \(M_{B} \)、重心為 \(G\),
\(\displaystyle \tan{M_{A}GB}=\frac{2-1}{1+2*1}=\frac{1}{3}\),\(\displaystyle \sin{AGB}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)、\(a^{2}+b^{2}=900\)
由中線定理得
\(\overline{AM_{A}}^{2}=3b^{2}+900\)、\(\overline{BM_{B}}^{2}=3a^{2}+900\)
由 \(\displaystyle \Delta AGB=\frac{1}{3}\Delta ABC\) 得
\(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\overline{AM_{A}}\times \frac{2}{3}\overline{BM_{A}}\times \sin{AGB}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times (2a)\times(2b)\)
整理得 \(ab=200\),
\(\Delta ABC=\frac{1}{2}\times (2a)\times(2b)=2ab=400\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2021-5-9 21:17 編輯 ]

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計算1 考場當下不知道怎麼回事 以為是要求出留到最後一人為勝利者時的猜拳次數期望值
嫌麻煩就沒算了 回頭來看發現超級送分
不分勝負機率為\(\displaystyle \frac{17}{27}\)
\(\displaystyle E(X)=\frac{10}{27}+\frac{17}{27}[E(X)+1]\)
得\(\displaystyle E(X)=\frac{27}{10}\)

填充6
令\(A(2t^2,4t),B(2s^2,4s)\),則過A,B的兩條高的直線方程式分別為
\(\displaystyle y-4t=\frac{-s}{2}x+st^2\)
\(\displaystyle y-4s=\frac{-t}{2}x+ts^2\)
整理可得\(\displaystyle 4=\frac{-1}{2}x-st\)且\(x=2\),得\(st=-5\)
代回去直線方程式得到\(s=-t\),可知\(\displaystyle t=\sqrt{5},s=-\sqrt{5}\)
所以\(\displaystyle A(10,4\sqrt{5}),B(10,-4\sqrt{5})\)
易知所求外心為\((9,0)\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-5-10 16:00 編輯 ]

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回復 4# flyinsky218 的帖子

計算第 3 題
補一下圖

附件

20210509.jpg (60.5 KB)

2021-5-9 21:41

20210509.jpg

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