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不等式

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不等式

設三角形三邊長為\(a\ge b\ge c>0\),\(a,b,c\in N\)。
三角形面積公式:\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\),\(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}\)
因面積為正整數,所以\(s\)亦為正整數。
觀察\((s-a)+(s-b)+(s-c)=3s-2s=s\),
因此\(10\ge \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\ge \sqrt{3(s-a)^4}\),
(\(s\ge s-c \ge s-b \ge s-a\))

請教最後一行是怎麼變的?

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因為 \(s-c \geq s-b \geq s-a\),所以 \( (s-a)+(s-b)+(s-c) \geq (s-a)+(s-a)+(s-a)=3(s-a) \),
又因為 \(s=(s-a)+(s-b)+(s-c)\) ,所以 \( s \geq 3(s-a) \)。
至此可由 \(s\geq s-c \geq s-b \geq s-a>0\) 和 \( s \geq 3(s-a) \)
推得 \(s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\geq  3(s-a)\cdot (s-a)\cdot (s-a)\cdot (s-a)\)
因此  \(\sqrt {s(s-a)(s-b) (s-c)} \geq \sqrt {3(s-a)^4}\)

[ 本帖最後由 aspoercig 於 2019-8-25 00:07 編輯 ]

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此即內切圓與三邊的三切點把三邊分為6段,最小的一段最長為面積開根號/3的4次方根

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