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108全國高中聯招

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108全國高中聯招

 

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108全國高中聯招.pdf (423.84 KB)

2019-5-11 12:11, 下載次數: 1842

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3.
矩形\(ABCD\)中,\(\overline{AB}=4\),\(\overline{BC}=3\),沿\(\overline{AC}\)將矩形\(ABCD\)折成一個直二面角\(B-\overline{AC}-D\),則四面體\(ABCD\)的外接球的體積為?
(A)\(\displaystyle \frac{125}{12}\pi\) (B)\(\displaystyle \frac{125}{9}\pi\) (C)\(\displaystyle \frac{125}{6}\pi\) (D)\(\displaystyle \frac{125}{3}\pi\)


4.
一圓周上有10個等分點,從這10個等分點中,選擇4個等分點為頂點構成一個四邊形,則此四邊形為梯形的機率為何?
(A)\(\displaystyle \frac{8}{21}\) (B)\(\displaystyle \frac{4}{21}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (D)\(\displaystyle \frac{2}{7}\)

已知一圓周上有12個等分點,從這12個等分點中,任意選4個等分點作為頂點構成一個四邊形,試問此四邊形為梯形的機率為何?
(1)\(\displaystyle \frac{21}{55}\) (2)\(\displaystyle \frac{56}{165}\) (3)\(\displaystyle \frac{14}{55}\) (4)\(\displaystyle \frac{8}{33}\) (5)\(\displaystyle \frac{12}{55}\)
http://mail2.cjhs.kh.edu.tw/Phys ... AD%B8%E7%A7%911.pdf

10.
職棒明星賽採5戰3勝制,當參賽紅、白兩隊中有一隊贏得3場比賽時,就由該隊獲勝而賽事結束。每場比賽皆須分出勝負,且每場比賽的勝負皆分出勝負,且每場比賽的勝負皆不受之前已賽結果影響。假設紅隊在任一場贏球的機率為定值\(p\),以\(f(p)\)表實際比賽場數的期望值\((0\le p \le 1)\),請選出正確的選項:
(A)\(f(p)\)的常數項等於3
(B)\(f(p)\)是\(p\)的5次多項式
(C)函數\(f(p)\)在\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\)時有最大值
(D)若紅、白兩隊實力旗鼓相當,則最後比5場結束的機率大於比4場結束的機率

職業棒球季後賽第一輪採五戰三勝制,當參賽甲、乙兩隊中有一隊贏得三場比賽時,就由該隊晉級而賽事結束。每場比賽皆須分出勝負,且每場比賽的勝負皆不受之前已賽結果影響。假設甲隊在任一場贏球的機率為定值\(p\),以\(f(p)\)表實際比賽場數的期望值(其中\(0\le p \le 1\)),請選出正確的選項:
(A)只須比賽 3 場就產生晉級球隊的機率為\(p^3+(1-p)^3\)
(B)\(f(p)\)是\(p\)的5次多項式
(C)\(f(p)\)的常數項等於3
(D)函數\(f(p)\)在\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\)時有最大值
(E)\(\displaystyle f(\frac{1}{4})<f(\frac{4}{5})\)
(103指考數甲)

7.
小明在森林中迷了路,若繼續往前走則經過5分鐘後會回到原地,若返回走則有一半的機會於5分鐘後回到原地,另一半的機會於10分鐘後走出森林;假設小明向前走的機率為0.6,問小明能夠走出森林所花費的期望值為?
(A)25 (B)30 (C)40 (D)45 分鐘
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid1475

填充題
2.
設\(f(x)=x^3-2x^2+3x-4\),\(g(x)=x^4-3x^3+5x^2-8x+1\),且\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(f(x)=0\)之三根,試求\(g(\alpha)\cdot g(\beta)\cdot g(\gamma)\)之值   

設\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \),\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \),且α、β、γ為\( f(x)=0 \)之三根。
(1)試求\( g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma) \)之值。
(2)試求\( \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)} \)之值。
(高雄女中雙週一題,96師大附中,98中崙高中,https://math.pro/db/thread-807-1-1.html)

3.
曲線\(y=-x^2+2x\)與直線\(x+y=0\)圍成封閉區域\(\Gamma\),求\(\Gamma\)繞\(x\)軸旋轉所成的旋轉體體積=   

求拋物線\(y=-x^2+2x\)與直線\(y=-x\)的圖形所圍成之封閉區域繞\(x\)軸旋轉一圈所得之旋轉體的體積為   
(100桃園高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1144&page=1#pid3652)

4.
已知\(n\in N\),且\(n<\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\ldots}}}}}}<n+1\),則\(n=\)   
http://www.mathchina.net/dvbbs/d ... Id=12561&page=7

設\( [\; x ]\; \)表示不大於x最大整數,例如:\( [\; 3 ]\;=3 \),\( [\; 2.3 ]\;=2 \),\( [\; -2.5 ]\;=-3 \),則
\( \displaystyle \Bigg[\; \sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+...+2010}}}} \Bigg]\; \)之值為何?
(其中共有2010個2010)
(建中通訊解題第82期,http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

證明\(1<\sqrt{2+\root 3 \of{3+\root 4 \of{4+\ldots+\root 1120 \of{1120}}}}<2\)
(104高中數學能力競賽 南區(高雄區)筆試一試題,https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html)

5.
已知\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)五人各有一頂不同之帽子﹐除\(A\)外另四人皆記得自己的帽子;重新混合後,依序由\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)去取回一頂帽子。\(A\)任取一頂帽子,另四人若自己的帽子已被取走方可任取其餘帽子中之一頂,則五人取帽子之方法共有   種。
(104台中一中期中考,http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/tcfsh/T104122.pdf)

6.
設有5個二維數據,其統計資料如下:\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 x_i=10\),\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 y_i=400\),\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 x_i^2=30\)如果小小兵求\(y\)對\(x\)的迴歸直線方程式時,不慎將斜率公式誤植為\(\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i+\mu_x)(y_i+\mu_y)}{\displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i+\mu_x)^2}\)求得斜率\(\displaystyle \frac{311}{9}\),其餘計算沒有錯誤,則正確的迴歸直線方程式應為   
(104台中一中期中考,http://acad.tcfsh.tc.edu.tw/zh_tw/experiment/PreviousExams)

計算證明題
2.
設\((1+x+x^2)^n=a_0+a_1x+\ldots+a_{2n}x^{2n}\),其中\(a_0,a_1,\ldots\)為係數。證\(a_0+a_3+a_6+\ldots=a_1+a_4+a_7+\ldots=a_2+a_5+a_8+\ldots=3^{n-1}\)
(95台灣大學學士班甄選入學,http://www.math.ntu.edu.tw/sites ... /exams/h_app_95.pdf)

附件

長方形對角線折起的外接圓SketcuUp檔.zip (78.53 KB)

2019-6-8 20:32, 下載次數: 315

104台中一中高一期中考.pdf (414.11 KB)

2019-6-9 12:53, 下載次數: 297

104台中一中高一期末考.pdf (587.1 KB)

2019-6-9 12:53, 下載次數: 280

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謝謝老師即時發文,今年不少排列組合跟微積分

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多選12題的....(D)
AP向量 與 平面法向量
有銳角、鈍角疑慮
cos 應該有 正負兩個答案
選項(D)應該有誤!!!

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-5-11 13:28 編輯 ]

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選擇4:
之前我有拿出來討論,請參考下列連結~
https://m.facebook.com/groups/54 ... id=1058211724337067

選擇6:
"蒙提霍爾問題 選門問題" (山羊與汽車問題)
https://hk.thenewslens.com/article/80344
https://www.shs.edu.tw/works/essay/2013/11/2013111418352920.pdf

填充2:
與"100全國聯招:綜合4"雷同(改數據而已)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-12 00:56 編輯 ]

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請教計算2

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回復 6# Uukuokuo 的帖子

計算2
設 \(f(x)=(1+x+x^{2})^{n}\),且 \(w\),\(w^{2}\) 為 \(1+x+x^{2}\) 的解
\(\begin{align}
& a_{0}+a_{3}+a_{6}+\cdots=\frac{f(1)+f(w)+f(w^{2})}{3}=3^{n-1} \\
& a_{1}+a_{4}+a_{7}+\cdots=\frac{f(1)+w^{2}\cdot f(w)+w\cdot f(w^{2})}{3}=3^{n-1} \\
& a_{2}+a_{5}+a_{8}+\cdots=\frac{f(1)+w\cdot f(w)+w^{2}\cdot f(w^{2})}{3}=3^{n-1}
\end{align}\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-13 21:25 編輯 ]

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請問選擇5 填充5

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回復 8# jasonmv6124 的帖子

選擇5
設 \(t=x^{4}\),則 \(t^{3}+at^{2}+bt+c=0\)
\(t=16i\),\(t=-1\),\(t=81\)
\(x^{4}=16i\),\(x^{4}=-1\),\(x^{4}=81\)
其中 \(x^{4}=16i\),\(x^{4}=-1\) 皆為虛根,有 \(8\) 個
\(x^{4}=81\) 有 \(2\) 個實根、\(2\) 個虛根
所以實根有 \(2\) 個,虛根有 \(10\) 個

填充5
全列-等待其他老師更好的解法
---A抽到A情況---
ABCDE
---B抽到A情況---
BACDE
---C抽到A情況---
BCADE
CBADE
---D抽到A情況---
BCDAE、BDCAE
CBDAE
DBCAE
---E抽到A情況---
BCDEA、BCEDA、BDCEA、BECDA
CBDEA、CBEDA
DBCEA
EBCDA

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-12 11:25 編輯 ]

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引用:
原帖由 czk0622 於 2019-5-12 10:35 發表
選擇5
設 \(t=x^{4}\),則 \(t^{3}+at^{2}+bt+c=0\)
\(t=16i\),\(t=-1\),\(t=81\)
\(x^{4}=16i\),\(x^{4}=-1\),\(x^{4}=81\)
其中 \(x^{4}=16i\),\(x^{4}=-1\) 皆為虛根,有 \(8\) 個
\(x^{4}=81\) 有 \(2\) 個實根、\(2\) 個 ...
填充5:
上面bugmens提供的連結有好幾種作法~

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