111樟樹高中

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三、
1.
在右列的三角形陣列中，在兩條邊上依序填入2、3、4、⋯⋯連續自然數，中間的數都是上一列相鄰兩數之和(類似巴斯卡三角形)，所以第一列所有數字的總和為2，第二列所有數字的總和為6，以此類推，試求第2022列所有數字的總和除以1000的餘數為何？
\( \matrix{& & & & 2 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & &  \cr
& & 4 & & 6 & & 4 & &  \cr
& 5 & & 10 & & 10 & & 5 &  \cr
6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 }\)

在下列的三角形陣列中，對k=1,2,3,…，由上而下的第k列是由k個數所排成，其中最左邊的數與最右邊的數都是k+1，而中間的數都是上一列相鄰兩數之和，則第100列的數之總和除以100的餘數為？
\( \matrix{& & & & 2 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & &  \cr
& & 4 & & 6 & & 4 & &  \cr
& 5 & & 10 & & 10 & & 5 &  \cr
6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 }\)
(100高中數學能力競賽臺北市筆試二試題，https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)
(我的教甄準備之路　找出圖形的規律，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)

2.
已知數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，若\(\displaystyle a_n=\frac{3}{\sqrt{n^4+4n^2}}+\frac{6}{\sqrt{n^4+16n^2}}+\frac{9}{\sqrt{n^4+36n^2}}+\ldots+\frac{3n}{\sqrt{5n^4}}\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)？
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

3.
袋中有2022顆球，分別編號為1、2、3、⋯⋯、2022，假設每球被取中的機率相同，今從袋中一次取三顆球，設三顆球之中編號最大者為\(x\)，求\(x\)的期望值為何？

袋中有 \(2008\) 顆球，分別編號為 \(1,2,3,…,2008\)，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 \(T\)，求 \(T\) 之期望值。
連結有解答
(99屏東女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2659)

4.
已知圓內接六邊形\(ABCDEF\)的六邊之長依序為5，5，7，7，5，7，則此六邊形\(ABCDEF\)的面積為何？

已知圓內接六邊形的邊長依序為2、2、3、3、2、3，則此六邊形面積為　　　。
(102彰化高中科學班，https://math.pro/db/thread-2735-1-1.html)


四、
1.
若\(\left[\matrix{-\sqrt{3}&1\cr -1&-\sqrt{3}} \right]^{99}=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\)，則\(\displaystyle log_4 \frac{ad-bc}{a+b-c-d}=\)？

若\(\left[\matrix{-1&\sqrt{3}\cr -\sqrt{3}&-1}\right]^{100}=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\)，則\(\displaystyle log_2 \frac{bc-ad}{a+b+c+d}=\)　　　。
2012TRML團體賽，https://math.pro/db/thread-1486-1-1.html
我的教甄準備之路　矩陣n次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875

想請教三、1
我算出第n列數字和為 \( 2^{n+1} - 2 \)，所求為 \( 2^{2023} - 2 \)
可是不太知道該怎麼計算除以1000的餘數，謝謝。

三、1
參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3576&page=1#pid23519

原來前幾天ptt問的是這份
ptt是用中國剩餘定理去做的可以參考一下
如果用費馬尤拉定理會變成
\( 2^{\phi(1000)}=2^{400}\equiv1(mod1000) \)
這樣可能比較快

#上述方法有誤，因為\(\gcd(2,1000)\ne1\)
\(2^{2023}\equiv0(mod8),2^{2023}=(2^{100})^{20}\cdot2^{23}\equiv108(mod125)\)
由輾轉相除法知\(1=(-3)\times125+47\times8\)
\(2^{2023}\equiv0\times125\times(-3)+108\times8\times47\equiv608(mod1000)\)

謝謝 thepiano 老師。
謝謝 BambooLotus 老師。

求\(\displaystyle 2^{2023}\)除以1000的餘數
先考慮\(\displaystyle 2^{2020}\)除以125的餘數
可知\(\displaystyle 2^{2020} \equiv (1024)^2 \equiv 576 (mod\ 125) \)
因此\(\displaystyle 2^{2023} \equiv 608 (mod\ 1000) \)

所求為\(\displaystyle 2^{2023}-2 \equiv 608-2 \equiv 606 (mod\ 1000) \)

謝謝 satsuki931000 老師

板上老師好

請問第二題的黎曼和 夾擠的上下界要怎麼湊阿

已知數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，若\(\displaystyle a_n=\frac{3}{\sqrt{n^4+4n^2}}+\frac{6}{\sqrt{n^4+16n^2}}+\frac{9}{\sqrt{n^4+36n^2}}+\ldots+\frac{3n}{\sqrt{5n^4}}\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)？
[解答]