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102景美女中

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102景美女中

題目如附件。

附件

102景美女中.pdf (33.88 KB)

2013-5-29 16:31, 下載次數: 3017

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想請問2.8.10

10.覺得四個都是對的...但是不會解釋

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想問2,4,8

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2.
試求出所有整數a,b,c使得\( \displaystyle \frac{36}{385}=\frac{a}{5}+\frac{b}{7}+\frac{c}{11} \),且\( |\; a |\;<5 \),\( |\; b |\;<7 \),\( |\; c |\;<11 \)。
(101桃園高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1373&page=2#pid5767)


6.
設兩數列\( a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{100} \)及\( b_1,b_2,b_3,\ldots,b_{100} \)滿足\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{a_{n+1}=3a_n-2b_{n+1} \cr b_{n+1}=a_{n+1}-3b_n} \),\( n=1,2,3,\ldots,99 \)
(1)試求\( 2 \times 2 \)階矩陣A,使得\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{a_{n+1} \cr b_{n+1}} \Bigg]\;=A \Bigg[\; \matrix{a_n \cr b_n} \Bigg]\; \),\( n=1,2,3,\ldots,99 \)。
(2)已知\( a_{99}=3^{50} \),\( b_{100}=4 \cdot 3^{49} \),試求\( a_1 \)及\( b_1 \)之值。


設\( n \in N \),兩數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \)滿足\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{a_{n+1}=5b_n+2b_{n+1} \cr b_{n+1}=5a_{n}-2a_{n+1}} \)
(1)試求二階方陣A,使得\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{a_{n+1} \cr b_{n+1}} \Bigg]\;=A \Bigg[\; \matrix{a_n \cr b_n} \Bigg]\; \),\( n \in N \)。
(2)已知\( a_{100}=5^{50} \),\( b_{100}=3 \cdot 5^{50} \),試求\( a_1 \)及\( b_1 \)之值。
(101明倫高中,https://math.pro/db/thread-1410-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-5-29 06:16 PM 編輯 ]

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回復 2# simon112266 的帖子

第 2 題:

\(36 = a\cdot 7\cdot 11 + b\cdot 5\cdot 11+c\cdot5\cdot 7\)

可知

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{cc}36\equiv a\cdot 7\cdot 11\pmod{5}\\ 36\equiv b\cdot 5\cdot 11\pmod{7} \\ 36\equiv c\cdot5\cdot 7\pmod{11}\end{array}\right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left\{\begin{array}{cc}1\equiv 2a\pmod{5}\\ 1\equiv 6b\pmod{7} \\ 3\equiv 2c\pmod{11}\end{array}\right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left\{\begin{array}{cc}3\cdot1\equiv 3\cdot2a\pmod{5}\\ 6\cdot1\equiv 6\cdot6b\pmod{7} \\ 6\cdot3\equiv 6\cdot2c\pmod{11}\end{array}\right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left\{\begin{array}{cc}3\equiv a\pmod{5}\\ 6\equiv b\pmod{7} \\ 7\equiv c\pmod{11}\end{array}\right.\)

且由 \(\left|a\right|<5, \left|b\right|<7, \left|c\right|<11\)

可知 \(a=3\) 或 \(a=-2\),\(b=6\) 或 \(b=-1\),\(c=7\) 或 \(c=-4\),

剩下就是帶入 \(\displaystyle \frac{36}{385}=\frac{a}{5}+\frac{b}{7}+\frac{c}{11}\)

檢查可得正確的有序數組 \(\left(a,b,c\right)=(3,-1,-4), (-2,6,-4), (-2,-1,7)\)

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試著寫第4題

我是把規律找出來,還是有點麻煩...不知道這樣對不對
希望有高手有更簡單的方法

1089,1188,1287,1386,1485,1584,1683,1782,1881,1980

2079,2178,2277,2376,2475,2574,2673,2772,2871,2970

                                       ....
                                       ....
8.....

                       9開頭全都有0所以都不可以


1開頭平均A1=1485+1584/2=3069/2

2              A2=2475+2574/2=5049/2
...
8              A8=8415+8514/2=16929/2


A1~A8為等差

所求=(A1+A2+...+A8)*6/C(9,4)*4!=1111/14

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回復 6# simon112266 的帖子

第4題

100文華代理填充9 Joy091 和 wieye 老師之解法。

看完後應可以有比較簡捷之做法,或者利用 \( 100x+y \equiv x+y \) (mod  99)
文不成,武不就

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回復 3# acc10033 的帖子

第 8 題,如圖 \( 2\pi^2 \) 不解釋
文不成,武不就

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回復 2# simon112266 的帖子

第 10 題,有點小遺憾,只有 (1) 是正確的,好好想想 「整除」、「連續」、「可微」的定義是什麼
文不成,武不就

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引用:
原帖由 tsusy 於 2013-5-29 09:16 PM 發表
第 10 題,有點小遺憾,只有 (1) 是正確的,好好想想 「整除」、「連續」、「可微」的定義是什麼
謝謝老師的題點

定義不熟阿...

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