106羅東高中

　

填充7.
在三角形\(ABC\)的三邊\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)上依次取\(D\)、\(E\)、\(F\)點，且使\(\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{CE}:\overline{EA}=\overline{AF}:\overline{FB}=1:2\)，令\(\overline{AD}\)與\(\overline{CF}\)交於\(P\)點，\(\overline{BE}\)與\(\overline{AD}\)交於\(Q\)點，\(\overline{CF}\)與\(\overline{BE}\)交於\(R\)點，求\(\Delta ABC\)與\(\Delta PQR\)的面積比。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948&page=1#pid2128

填充10.
設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數，且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\)，求\( \displaystyle f(\frac{2}{3})\)。

設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數，且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\)，則\(\displaystyle f(\frac{1}{3})=\)　　　。
(102高中數學能力競賽　　北三區(新竹高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)

計算1.
求出此無窮根號之値：\( \sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\ldots}}}} \)。
(只寫出答案部分給分，滿分須嚴謹計算證明過程)
https://math.pro/db/thread-2017-1-1.html

令左式為f(x),則f(x)顯然為遞增函數
f(10)=150,f(10-)=146,故無147的函數值存在的空間

12.
設abc=-k,則 a,b,c為f(x)=x^3-9X^2+k=0 的三個實根,y=f(x)之圖形隨k值而上下平移
f`(x)=3x^2-18x=0 => x=0,6
欲使a+b=9-c最大,便要使最小的根c達到最小=>f(0)=k要最大,且具有三實根
=>f(6)=0,此時由圖易知a=b=6,故a+b 最大值=12

計算錯誤，修正後與laylay老師答案一樣

[ 本帖最後由 yinchou 於 2017-6-19 16:26 編輯 ]

f(0+0)=f(0)+f(0)+0*0=>f(0)=0
f(x+x)=f(x)+f(x)+x*x=>f(2x)=2f(x)+x^2.....(A)
當f(x)為多項式時,顯然次數為二次
設f(x)=ax^2+bx
則由(A)知 4a=2a+1=>a=1/2,再由f(4)=14得f(x)=(x^2+3x)/2 (此代入原式 左式=[(x+y)^2+3(x+y)]/2=右式 , 也符合)
=> f(2/3)=11/9
以下證明 對於所有的有理數x,f(x)=(x^2+3x)/2 .......
    f(3x))=f(x)+f(2x)+x(2x)=f(x)+2f(x)+x^2+2X^2=3f(x)+(1+2)x^2
    f(4x)=f(x)+f(3x)+x(3x)=f(x)+3f(x)+(1+2)x^2+3X^2=4f(x)+(1+2+3)x^2 ........
可導出n為正整數時f(nx)=nf(x)+[n(n-1)/2]*x^2  => f(x)=nf(x/n)+[(n-1)/(2n)]*x^2
=>f(x/n)={f(x)-[(n-1)/(2n)]*x^2}/n
f(1)=f(4/4)=(f(4)-3/8*16)/4=2
p為正整數時 f(p)=f(p*1)=pf(1)+p*(p-1)/2*1^2=(p^2+3p)/2
q為正整數時 f(p/q)={f(p)-[(q-1)/(2q)]*p^2}/q={(p^2+3p)/2-[(q-1)/(2q)]*p^2}/q
={(1/2q)p^2+(3/2)p}/q=[(p/q)^2+3(p/q)]/2
f(x+(-x))=f(x)+f(-x)+x(-x)=>f(-x)=x^2-f(x)
=>f(-p/q)=(p/q)^2-[(p/q)^2+3(p/q)]/2=[(-p/q)^2+3(-p/q)]/2
又f(0)=0=(0^2+3*0)/2,故可知對於所有的有理數x, f(x)=(x^2+3x)/2

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-20 02:38 編輯 ]

想問計算第3題

證明不存在實數\(x\)，使得\([x]+[2x]+[4x]+[8x]=147\)。
幫補個計算第2題的連結
https://math.pro/db/thread-1892-3-1.html

小弟的作法是坐標化

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-22 09:09 編輯 ]

計算三
設正方形ABCD的邊長為1，在邊 及 上分別取一點E、F，使得AEF周長為2，求 角ECF
另作 :
以C為圓心BC為半徑畫圓
由E對圓作切線交AD 於H,G為切點
則EG=EB,HG=HD => AEH周長= AB+AD= 2 =AEF周長 => H=F
角ECF=角BCD/2=45度

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-22 11:28 編輯 ]

小弟算的參考答案，麻煩偵錯一下囉！感謝！

第1題 \(\displaystyle \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}^{{\rm{89}}} }} \) (thepiano大校正)
第2題 \(\displaystyle {\rm{2 + }}\sqrt {\rm{3}} \)
第3題 \(\displaystyle ln2\)
第4題 \(13 \le m < \frac{{53}}{4}\)
第5題 \(\displaystyle \frac{{8\sqrt {10} }}{{25}} \)
第6題 \(\displaystyle  \frac{{128}}{3} \) (thepiano 大校正)
第7題 \(7:1\)
第8題 \(\displaystyle 37\sqrt 3  \)
第9題 \(\displaystyle P(n) = (-\frac{1}{7})^{n-1} \times (-\frac{1}{{14}})+\frac{1}{2},n \ge 1\)
第10題 \(\displaystyle \frac{11}{9} \)
第11題 \(-15\)
第12題 12

笫1題
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle 原式= \frac{{{\rm{sin1}}^ \circ   \times {\rm{sin2}}^ \circ   \times {\rm{sin3}}^ \circ   \times ... \times {\rm{sin179}}^ \circ  }}{{{\rm{sin2}}^ \circ   \times {\rm{sin4}}^ \circ   \times ... \times {\rm{sin178}}^ \circ }} \\
\displaystyle  = \frac{{{\rm{(sin1}}^ \circ   \times {\rm{sin2}}^ \circ   \times ... \times {\rm{sin89}}^ \circ  )^2 }}{{2^{89}  \times ({\rm{sin1}}^ \circ   \times {\rm{sin2}}^ \circ   \times ... \times {\rm{sin89}}^ \circ  ) \displaystyle \times (\cos {\rm{1}}^ \circ   \times \cos {\rm{2}}^ \circ   \times ... \times \cos {\rm{89}}^ \circ  )}} \\
\displaystyle  = \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}^{{\rm{89}}} }} \\
\end{array}
\)

第6題
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle  z_1  = 48 \\
\displaystyle  z_2  = 48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2}) \times (\cos 30^ \circ   + i\sin 30^ \circ  ) \\
\displaystyle  z_3  = 48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2})^2 (\cos 60^ \circ   + i\sin 60^ \circ  ) \\
..... \\
\displaystyle  z_{k + 1}  = 48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2})^k (\cos \frac{{k\pi }}{6} + i\sin \frac{{k\pi }}{6}) \\
由上述討論並觀察出等比數列 \displaystyle  a_1 = z_1 = 48,a_2 = z_7 =48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2})^6  \times ( - 1),a_3 = z_{13} = 48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2})^{12}  \times 1,... \\
\displaystyle  \sum\limits_{k = 1}^\infty  {a_k } = \frac{{48}}{{1 - \left[ { - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^6 } \right]}} = \frac{{128}}{3} \\
\end{array}
\)

第12題 (另解 根與係數關係)
\(
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 9 - c \\
ab = - 9c + c^2  \\
\end{array} \right. \\
實數a、b為x^2  + ( - 9 + c)x + (c^2  - 9c) = 0之根 \\
判別式D \ge 0，(- 9 + c)^2 - 4\times 1\times (c^2 - 9c) \ge 0 \\
令a + b = t, -3t^2 + 36t \ge 0可推得0 \le t \le 12 \\
故a+b最大值為12
\end{array}
\)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-22 14:50 編輯 ]