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99安樂高中

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99安樂高中

計分方式很特別.....

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2010-7-14 22:08, 下載次數: 1550

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http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1900

1.設有二個首項皆為1的數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \),且對於所有的自然數n,\( \displaystyle \cases{a_{n+1}=a_n-2 b_n \cr b_{n+1}=a_n+4 b_n} \)恆成立,則\( a_n= \)?
(高中數學101 P339,高中數學101修訂版 P340)
[另解]
\( a_{n+1}=a_n-2b_n \) , \( \displaystyle b_n=-\frac{1}{2}a_{n+1}+\frac{1}{2}a_n \)

代入\( b_{n+1}=a_n+4 b_n \)得\( b_{n+1}=-2a_{n+1}+3a_n \) , \( b_n=-2a_n+3a_{n-1} \)

代入\( a_{n+1}=a_n-2b_n \)得\( a_{n+1}=5a_n-6a_{n-1} \) , \( a_{n+1}-5a_n+6a_{n-1}=0 \)

特徵方程\( x^2-5x+6=0 \) , \( x=2,3 \)

令\( a_n=c_1 \times 2^n+c_2 \times 3^n \) , \( a_1=1,a_2=-1 \)

得\( c_1=2,c_2=-1 \) , \( a_n=2^{n+1}-3^n \)


\( x_1=1,y_1=3 \),\( \cases{3x_n+y_n=2x_{n-1} \cr x_n+3y_n=2y_{n-1}} \),求\( x_n \)?
(97全國高中聯招)


7.設\( \displaystyle 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \),則方程式\( cos^8 x+sin^8 x=\frac{97}{128} \)之解為?
[解答]
\( (sin^2 x+cos^2 x)^4=sin^8 x+4sin^6 x cos^2 x+6sin^4 x cos^4 x+4sin^2 x cos^6 x+cos^8 x \)

\( \displaystyle 1=\frac{97}{128}+4(sin x cos x)^2(sin^4 x+cos^4 x)+6sin^4 x cos^4 x \)

\( \displaystyle 1=\frac{97}{128}+4(sin x cos x)^2[1-2(sin x cos x)^2]+6sin^4 x cos^4 x \)

令\( t=(sin x cos x)^2 \)

\( \displaystyle 1=\frac{97}{128}+4t(1-2t)+6t^2 \)

\( \displaystyle t=\frac{1}{16},\frac{31}{16} \)(不合)

\( (\frac{1}{2}sin2x)^2=\frac{1}{16} \)

\( \displaystyle x=\frac{\pi}{12},\frac{5 \pi}{12} \)

12.設\( \displaystyle (1+x)^{200}=\sum_{k=0}^{200}a_k x^k \),則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{66}a_{3k}= \)?

設 C(100,3k),k從0到33之和為S,請問S為幾位正整數?首位數為何?末位數為何?
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=39008


14.設x,y為實數,則函數\( \sqrt{x^2+y^2-6x-ylog_2 9+(log_2 3)^2+9}+\sqrt{x^2+y^2+4x-ylog_2 144+log_2 81+(log_2 3)^2+8} \)之最小值為?

對\( x>0 \),函數\( g(x)=\sqrt{x^2+(log x)^2}+\sqrt{(4-x)^2+(6+log x)^2} \)的最小值為何?
(1)\( 4\sqrt{3} \) (2)\( 2\sqrt{11} \) (3)\( 2\sqrt{13} \) (4)\( 10 \)
(96苗栗縣國中聯招)

若\( x>0 \),求\( \sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2x^2-16x+(log_2 x)^2-2xlog_2 x+2log_2 x+50} \)的最小值?
(99中一中,https://math.pro/db/thread-929-1-2.html)

101.4.6補充
甲、乙兩人輪擲一不公正銅板,此銅板出現正面之機率為\( \displaystyle \frac{2}{3} \),出現反面的機率為\( \displaystyle \frac{1}{3} \)。若出現正面,甲給乙1元,若出現反面,乙給甲1元。今甲有m元,乙有n元,m、n均為自然數,則甲將乙的錢贏光之機率為?
這裡有相關討論https://math.pro/db/thread-497-1-1.html

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-4-6 08:10 PM 編輯 ]

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想請教第4題,謝謝

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回復 3# 阿光 的帖子

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為什麼第12題我做不出正確答案(我的答案是1/3(2^200-1)),請指示正確解法,謝謝

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回復 5# 阿光 的帖子

題目要求 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{66}a_{3k}\)

你求出來的是 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{66}a_{3k}\)

所以你的答案要再扣掉 \(a_0\)

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請教第6題,謝謝

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回復 7# maymay 的帖子

第 6 題

\(\displaystyle\sqrt{2\sqrt{3}-3}\)

  \(\displaystyle=\sqrt[4]{3}\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

  \(\displaystyle=\sqrt[4]{3}\cdot\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}\)

  \(\displaystyle=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)

  \(\displaystyle=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{3}-1\right)\)

  \(\displaystyle=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}-\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

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謝謝

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想請問一下第11題 謝謝

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