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102明倫高中

102明倫高中

 

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2013-6-13 23:37, 下載次數: 12808

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引用:
原帖由 bugmens 於 2013-6-13 11:37 PM 發表
 
第6,7題答案給錯了  (顛倒了)
這份考題本人認為不錯,
都是考一些高中觀念的應用!

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回復 1# bugmens 的帖子

想請教大家,其中有一題三角形三邊平方和大於等於4根號3倍的三角形面積要如何證明?

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回復 3# drexler5422 的帖子

剛好逛到這個證明 法蘭克的數學世界外森比克(Weitzenböck's)不等式

101 台師大數學系的甄試也考過此題,題目如下:
設 \( \triangle ABC \) 的三邊長分別為 \( a, b, c \),而 \( \triangle \) 是此三角形的面積。試證:
(a) \( a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq4\sqrt{3}\triangle \)
(b) \( \sin^{2}A+\sin^{2}B+\sin^{2}C\leq\frac{9}{4} \)。


[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-6-16 10:58 PM 編輯 ]
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回復 4# tsusy 的帖子

感謝寸絲大大~~~
我弄懂第一題了

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回復 5# drexler5422 的帖子

補上 Weitzenböck 不等式的其他證明方法供參考: https://math.pro/db/viewthread.php?tid=666&page=1#pid1089

多喝水。

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回復 6# weiye 的帖子

那我也補個證明好了:

先證 \( a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq\frac{4}{3}s^{2} \),其中 \( s =\frac{a+b+c}{2} \)。

由柯西不等式有 \( \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)(1+1+1)\geq(2s)^{2}=4s^{2} \),再除以 3 即得上式。

\( a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{4s^{2}}{9}\geq4\sqrt{\frac{2}{3}sabc} \) (算幾)。

由算幾不等式有 \( a=s-b+s-c\geq2\sqrt{(s-a)(s-b)}, b\geq2\sqrt{(s-a)(s-c)}, c\geq\sqrt{(s-a)(s-b)} \)。

因此 \( \frac{4}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq4\cdot\sqrt{\frac{16}{3}}\triangle \) (海龍公式) \( \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq4\sqrt{3}\triangle \)。
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第1,2,3,...,8題

獻醜

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2013-6-18 08:28 AM 編輯 ]

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第12,15題

請教高手, 16題怎下手呢?

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回復 8# tuhunger 的帖子

第 4 題. \( \vec{OP} = \vec{OC} + \vec{CP} \) 而 \( \vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} \),且 \( \overline{CP} \perp \overline{AB} \)

故 \( \vec{OP} \cdot (\vec{OA} - \vec{OB}) = \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{OB})\cdot (\vec{OA} - \vec{OB}) = \frac12(\overline{OA}^2 - \overline{OB}^2) = 6 \)
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