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104新竹女中

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104新竹女中

只記得這三題 請問這三題該如何動筆呢

第一題
7 8 9 10 14 這五個數 任取兩數相乘的總和+任取三數的總和+任取四數的總和=???

請問這題要硬做嗎? 還是有更快的做法呢?

證明第一題
假設O為原點 P,Q為直角坐標系兩點 假設有一T為2by2的線性轉換
使得P跑到P'  Q跑到Q'
請證明(一)OP:OP'=OQ:OQ'  (二)角POP'=角QOQ'

證明第二題(記憶力有點差 如果哪邊有記錯請指證)
假設一線段AB中間任取一點C
以AC,CB為邊作正三角形
(一)證明AEFC為還是圓內接四邊形
(二)證明DE(還是其他邊?)為圓AEFC的切線

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2015-4-19 19:48

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2015-4-21 03:08, 下載次數: 7066

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回復 1# Callmeluluz 的帖子

第一題
有\(7,8,9,10,14\)五個數,設\(s_2\)表任二數乘積的總和,設\(s_3\)表任三數乘積的總和,設\(s_4\)表任四數乘積的總和,則\(s_2+s_3+s_4\)之值為   
[提示]
這題也考過類似的。

考慮 \( (x+7)(x+8)(x+9)(x+10)(x+14) \) 展開的各項係數和

以 \( x=1 \) 代入再扣除我們不要的項 (5次項、4次項、常數項)


證明一,應該有漏條件,否則反例如下

\( T(x,y)=(2x,y) \), \( P(1,0) \), \( Q(0,1) \)

則 \( \overline{OP}:\overline{OP'}=1:2 \), \( \overline{OQ}:\overline{OQ'}=1:1 \)

若同樣的 T,改取 \( P(1,0) \), \( Q(1,1) \),則 \( \angle POP' = 0^\circ \neq \angle QOQ' \)


證明二,以 Geogebra 畫圖觀察,圖上所畫直線僅有 \( \overleftrightarrow{CD} \) 與圓 AEFC 相切
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回復 2# tsusy 的帖子

應該是我題目有誤 抱歉
只好等題目出來了

我剛剛又想到一題了


三角形ABC,以BC為直徑做圓,AB交圓於D,AC交圓於E,假設三角形AED面積為1,四邊形DECB面積為t,求cos角BAC

第10題
銳角\( \Delta ABC \)中,設\(∠ A=\theta\),若以\( \overline{BC} \)為直徑作圓,此圓交\(\overline{AB}\)於\(P\)點,交\( \overline{AC} \)於\(Q\)點,若四邊形\(PBCQ\)的面積是\(\Delta APQ\)的面積\(t\)倍,則\(cos \theta=\)   

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引用:
三角形ABC
以BC為直徑做圓
AB交圓於D
AC交圓於E
假設三角形AED面積為1
四邊形DECB面積為t
求cos角BAC
\(\begin{align}
  & AD\times AB=AE\times AC \\
& \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB} \\
& \frac{\Delta ADE}{\Delta ABC}=\frac{AD\times AE}{AB\times AC}=\frac{1}{t+1} \\
& {{\left( \frac{AD}{AC} \right)}^{2}}=\frac{1}{t+1} \\
& \cos \angle BAC=\frac{AD}{AC}=\sqrt{\frac{1}{t+1}} \\
\end{align}\)

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證明第二題:

(1+i)^n=An+iBn,An,Bn為實數,若矩陣[An+1 Bn+1]=T[An Bn],T矩陣為線性映射,
若O為原點,P.Q為座標上異於O的相異兩點,P'、Q'為P、Q做線性映射T矩陣後的兩點,
證明(一)OP:OP'=OQ:OQ'  (二)角POP'=角QOQ'

我個人是先求出(An+1 ,Bn+1)=(An-Bn,An+Bn)
之後另P、Q、P'、Q'點座標,
暴力算出他們邊長的比值都根號2,因此可得出兩小題的結論

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回復 5# rueichi 的帖子

證明二:題目如果是這樣就沒問題了

證明的方向也正確,但有一瑕疵:T 的對應關係,已知的條件僅有對 \( (A_n, B_n) \) 這樣形式的點,而非平面上任意一點

也就是說令了點 P 坐標之後,不能直接套用 \( (A_n, B_n) \) 的映射去得到 \( P' \) 的坐標

而需要利用線性映射的性質把 \( A_{n+1} = A_n -B_n, B_{n+1} = A_n +B_n \) 的關係式推廣成 \( T: (x,y) \mapsto (x-y,x+y) \)

才能代入 \( P, Q \),而得到 \( P', Q' \) 之坐標
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證明2

證明第二題似乎是去年指考考題,題目一模一樣,只是把指考的1.2小題拿掉

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1.
有7,8,9,10,14五個數,設\( s_2 \)表任二數乘積的總和,設\( s_3 \)表任三數乘積的總和,設\( s_4 \)表任四數乘積的總和,則\( s_2+s_3+s_4 \)之值為   

\( P_k \)表\( 1,2,3,\ldots,n \)中任取\( k \)個數乘積的和,求\( 1+P_1+P_2+\ldots+P_n \)。
(104桃園高中,https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)

將十次多項式\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+6)(x+9)(x+10) \)展開後得\( x^{10}+55x^{9}+a_8x^8+a_7x^7+\ldots+10! \),若\( a_8=55M \),\( a_7=55^2N \),其中\( M,N \)為正整數,求\( (M,N)= \)?
(101文華高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=8#pid5478)


13.
多項式\( (1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+\ldots+x^{12})^2 \)展開式中,\( x^{24} \)項的係數為   


14.
設\( x,y,z,w \)均為實數,且滿足\( x+y+z+w=8 \)及\( x^2+2y^2+3z^2+6w^2=50 \)。若\( x \)的最大值為\( M \),最小值為\( m \),則數對\( (M,m)= \)   

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13

多項式\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+\ldots+x^{12})^2\)展開式中,\(x^{24}\)項的係數為   
[解答]
有點醜的做法,參考看看。
令\(\displaystyle a=1+x+x^2+\ldots+x^{12}=\frac{1-x^{13}}{1-x}\),則原式\(=(a+ax^{13})a^2=a^3+a^3x^{13}\),
即求\(a^3\)中\(x^{24}\)的係數與\(a^3\)中\(x^{11}\)的係數和
\(\displaystyle a^3=\Bigg(\; \frac{1-x^{13}}{1-x} \Bigg)\;^3=(1-x^{13})^3(1-x)^{-3} \)
\(\displaystyle =(1-3x^{13}+3x^{26}-x^{39})\Bigg[\; 1+(-3)(-x)+\frac{(-3)(-4)}{2!}(-x)^2+\ldots+\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-x)^{11}+\ldots+\frac{(-3)(-4)\ldots(-26)}{24!}(-x)^{24}+\ldots \Bigg]\;\)
所求即為
\( \displaystyle \frac{(-3)(-4)\ldots(-26)}{24!}(-1)^{24}+(-3)\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-1)^{11}+\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-1)^{11}=325+(-234)+78=169 \)

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第13題
多項式\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+\ldots+x^{12})^2\)展開式中,\(x^{24}\)項的係數為   
[提示]
可以看成是重複組合的題目吧
\(X_1+X_2+X_3=25\),\(0 \le X_1 \le 25\),\(0 \le X_2,X_3 \le12\)

想請問一下15,16,17題要怎麼下手

另外18題我想請教一下我的想法對不對

先從題目的式子算出\(f(x)=x^3+ax^2-x\),3個根分別為\(0,x_1, x_2\)
因為要求面積最小值,所以\(x_1\)和\(x_2\)的絕對值要越小越好
因此當\(a=0\)時,可以得到面積最小值

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