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105武陵高中

EZWrookie

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1^# 大中小發表於 2016-4-16 21:16 只看該作者

105武陵高中

拋磚引玉~打出我還記的的題目...
想問填充題擲骰子連續出現三次的期望值該怎麼算??

填充題: (未照題號順序)
1.擲公正骰子，連續出現三次相同數字才停止，求擲骰子次數的期望值。

計算證明題(未照題號順序)
1.證明任意凸四邊形ABCD 皆有AB*CD+AD*BC>=AC*BD，並說明等號成立的條件。
2.敘述並證明一次因式檢驗法
3.設三個矩陣A B C，證明(AB)C=A(BC)

105.4.19補充
以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 25分
32,30,30,27,25,25,25,25

其他
20~24分 8人
10~19分 49人
1~ 9分 55人
0分 27人
缺考 0人

共計 147 人

105.4.20補充
經agan325同意將檔案移到第一篇,方便以後網友下載
感謝PTT網友a85591842將印象記憶版打成pdf檔

附件

105武陵高中初試成績.pdf (239.72 KB): 2016-4-19 08:16, 下載次數: 9503

105武陵高中網友記憶版.pdf (108.3 KB): 2016-4-20 18:50, 下載次數: 10378

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thepiano

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2^# 大中小發表於 2016-4-16 22:22 只看該作者

回復 1# EZWrookie 的帖子

5.
投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止，求投擲次數的期望值。
[解答]
\(E\left( X \right)={{\left( \frac{1}{6} \right)}^{3}}\times 3+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+3 \right]+\left( \frac{1}{6} \right)\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+2 \right]+\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+1 \right]\)

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cefepime

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3^# 大中小發表於 2016-4-16 22:35 只看該作者

二樓 thepiano 老師提示的解，是否應是指:

擲公正骰子，連續出現三次 " 1 點" 才停止，求擲骰子次數的期望值。

與原題意有所不同。

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sliver

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4^# 大中小發表於 2016-4-16 22:51 只看該作者

回復 1# EZWrookie 的帖子

95年台大數學申請入學考題
h ttp://www.math.ntu.edu.tw/download.php?filename=203_41a7c8e6.pdf&dir=archive&title=%E7%94%84%E9%81%B8%E5%85%A5%E5%AD%B895　網頁已失效
類似的技巧
(1)若兩人猜拳，平均需要_______次能分出勝負
(2)若三人猜拳，兩人勝一人，則勝者兩人繼續猜拳直到分出勝負。若一人勝兩人，則此人勝出，因此平均需要_____次三人可分出勝負
---------------------------------------------------------------------------
(1) 兩人猜拳有2/3機率一把分出勝負
E=(2/3)*1 + (1/3)*(E+1)
故 E=3/2

(2)三人猜拳有1/3機率1人勝出 1/3機率2人暫時獲勝 1/3機率平手

E=(1/3)*1 + (1/3)*(1+3/2)+(1/3)*(1+E)
E=9/4

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EZWrookie

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5^# 大中小發表於 2016-4-17 15:54 只看該作者

回復 4# sliver 的帖子

我先計算了「重複擲一公正骰子，直到連續出現兩次相同點數才停止，則投擲數的期望值為 7次」
該如何推廣到直到連續出現""三次""相同點數才停止的期望值呢?

麻煩sliver老師了!!! 謝謝你。

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sliver

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6^# 大中小發表於 2016-4-17 17:11 只看該作者

回復 5# EZWrookie 的帖子

假設題目是連續擲了兩次一樣的點數即停止
令K=擲出一個點數(目前連1的狀況) 仍需多少次能達成任務的次數期望值

K=(1/6)*1 + (5/6)*(K+1)
=> K=6
=> E=K+1=7
----------------------------------------------------------
假設題目是連續擲了3次一樣的點數即停止
------------------------------------------------------------
令K=擲出一個點數(目前連1) 仍需多少次能達成任務的次數期望值

K=(1/36)*2 + (5/6)*(K+1) + (1/6)*(5/6)*(K+2)
=> K=42
=> E=K+1=43

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thepiano

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7^# 大中小發表於 2016-4-17 17:31 只看該作者

回復 3# cefepime 的帖子

原來題意沒有指定特定的點數，所以小弟的答案應該要再除以6才是正解43

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EZWrookie

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8^# 大中小發表於 2016-4-17 19:50 只看該作者

回復 6# sliver 的帖子

謝謝sliver 老師分享! 簡單明瞭~

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thepiano

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9^# 大中小發表於 2016-4-17 21:32 只看該作者

回復 3# cefepime 的帖子

5.
投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止，求投擲次數的期望值。
[解答]
小弟修正一下自己的算式
\(\begin{align}
& E\left( X \right)={{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}\times 3+\left( \frac{1}{6} \right)\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+2 \right]+\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+1 \right] \\
& E\left( X \right)=43 \\
\end{align}\)

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senzm

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10^# 大中小發表於 2016-4-17 21:56 只看該作者

謝謝sliver大學長無私分享

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