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104高雄中學

瓜農自足

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1^# 大中小發表於 2015-5-3 14:24 只看該作者

104高雄中學

題目是拼湊出來的
應該會有點失準希望有考的網友可以指正
印象中有共16題(含證明題一題，其餘計算題全部都要詳細過程) 有些忘了..

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2015-5-3 14:24

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tsusy

寸絲

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2^# 大中小發表於 2015-5-3 14:50 只看該作者

回復 1# 瓜農自足的帖子

\( f(x) = x^2 +bx +c \)，\( f(f(x)) ? =0 ? \) 恰有三實根

看來有點怪，如果 b,c 皆實數，\( f(f(x)) \) 是實係數四次多項式，虛根共軛成雙，不可能恰三實根

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瓜農自足

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3^# 大中小發表於 2015-5-3 14:52 只看該作者

回復 2# tsusy 的帖子

抱歉字太醜那是6 XDD 阿是\(f(f(x))=0\)恰三個相異實根
再補正一下某題限制應該是\(xz+yz=10\)才對

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mathguy

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4^# 大中小發表於 2015-5-4 07:45 只看該作者

回復 2# tsusy 的帖子

其中兩實根重根

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farmer

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5^# 大中小發表於 2015-5-4 11:50 只看該作者

回復 1# 瓜農自足的帖子

辛苦了，還記得這麼多題目。

其中橢圓過焦點那一題(要求AB線段)，
假設AB直線與長軸銳夾角為t，線段長AF1=L，線段長BF1=M，
則可設 X(A)=7+L*cos(t)，Y(A)=L*sin(t)
X(B)=7-M*cos(t)，Y(B)=-M*sin(t)
再由焦半徑AF1=a-(c/a)*X(A)、BF1=a-(c/a)*X(B)，
將L與M用cos(t)表示，
最後再由三角形面積得到的算式:Y(A)-Y(B)=32/7
解得 sin(t)=2/7，
因此線段AB長度為 L+M=16

不知有沒有其他較快的算法，
這題如果有人考試中有算出來，
那麼我會非常佩服他。

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CyberCat

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6^# 大中小發表於 2015-5-4 15:26 只看該作者

回復 1# 瓜農自足的帖子

共15題一題6% 最後一題10% 補上缺的幾題大家一起來討論

◎ 圓O 完全落在 y≧x^4 區域中求此圓的半徑最大值

◎ 已知∆ABC內有一點P ∠ABC為直角、 AB=1、BC=根號三若 PA單位向量+PB單位向量+PC單位向量 = 0 求PA : PB : PC

◎ L1與L2 為歪斜在L1上找三個點A、B、C，其中AB:BC=2:1，且A、B、C 各對L1求距離分別是
根號33 、3 、2根號6 ，求d(L1,L2)=?

◎ 還有一題是有一個被旋轉後的雙曲線問中心點還是貫軸之類的? 我有點不確定了希望有印象的大家幫忙補上

另外正方形面積那題卡了好久沒能解出來腦海裡記的座標是 (0,12) (8,0) (5,10) (-4,7) 但也不確定對不對有錯請指正也很想知道這題的解法

關於f(f(x))那題確實是寫恰三個相異實根當下也懷疑了一下題目才想到是重根的情況但還是覺得敘述上說不上的一種不自在是我多慮了? 還是題目真的沒問題?
想多心的問一下以四次實係數為前題在出題的語句敘述上若只有寫三個相異實根就可以是暗示說四實根中恰有一組重根嗎? (這問題是我多想的可能有點離題但因為很好奇所以提問一下)

看來豈是尋常色濃淡由他冰雪中

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tsusy

寸絲

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7^# 大中小發表於 2015-5-4 20:54 只看該作者

回復 5# farmer 的帖子

橢圓這題可以走海龍公式。

令 \( d = \overline{AF_1}, e = \overline{BF_1}, f = \overline{AB} = d + e \)

首先由 \( \angle AF_1F_2 + \angle BF_1F_2 = 180^\circ \) 及餘弦定理可得 \( \frac{d+e}{de} = \frac{9}{16} \Rightarrow de = \frac{16}{9}f\)

由海龍公式有 \( 32 = \triangle ABF_2 = \sqrt{18\cdot(18-d-e)de} = \sqrt{32(18-f)f} \)

平方可解得 \( f = 16 \) 或 2 (不合)

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tsusy

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8^# 大中小發表於 2015-5-4 23:28 只看該作者

回復 6# CyberCat 的帖子

正方形面積，見下圖

JH 為正方形對角線，故 \( \angle AJE = 45^\circ = \angle BHF \)

故 E, F 分別為半圓 AED, BFC 之中點(也在 AD, BC 中垂線上)

計算可得 \( E(\frac{1}{2},\frac{15}{2}) \), \( F(\frac{9}{2},\frac{11}{2}) \) (使用 1樓數據)

故對角線的方程式為 \( x+2y=\frac{31}{2} \)

與兩圓方程式分別解聯立可得正方形對角線上的一組頂點 \( J(-\frac{51}{10},\frac{103}{10}), H(\frac{25}{2},\frac{3}{2}) \)

正方形面積 \( \frac12 \overline{JH}^2 = \frac{968}{5} \)

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farmer

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9^# 大中小發表於 2015-5-5 00:02 只看該作者

引用:

原帖由 tsusy 於 2015-5-4 08:54 PM 發表
橢圓這題可以走海龍公式。

令 \( d = \overline{AF_1}, e = \overline{BF_1}, f = \overline{AB} = d + e \)

首先由 \( \angle AF_1F_2 + \angle BF_1F_2 = 180^\circ \) 及餘弦定理可得 ...

好解法。
不過在考場中是需要取捨的，要是我會至少捨棄這一題。
(事實上可以捨棄的題數是很多的，有限的時間內答自己有把握的題目就好了)

正方形那一題我會想要假設兩條平行線的斜率為m，
另兩條平行線的斜率為 -1/m ，
利用平行線間的距離，讓他們相等來解m。

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leo790124

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10^# 大中小發表於 2015-5-5 15:06 只看該作者

回復 6# CyberCat 的帖子

f(f(x))=0那一題
應該是這樣

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2015-5-5 15:06

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