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100華江高中

RainIced

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1^# 大中小發表於 2011-6-16 11:00 只看該作者

100華江高中

想問這一題要怎麼寫，謝謝。

1.a、b、c、d為正數，a >= b、a >= c、a >= d ，則使得此四邊形為圓
內接四邊形的充要條件為何？並証明。

2011.6.17版主補充
以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 80分
99,98,97,90,88,88,85,83,80,80,80,80(12人)

其他
70~79分 13人
60~69分 11人
50~59分 12人
40~49分 11人
30~39分 9人
20~29分 7人
10~19分 1人
0~ 9分 1人
缺考　　5 人

共計 82 人

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-17 09:27 PM 編輯 ]

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math614

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2^# 大中小發表於 2011-6-16 18:01 只看該作者

我也想知道這一題怎麼證~
今年華江初試最低錄取分數是80分~
這題證明題15分可是大關鍵呢!
有高手願意指點迷津嗎?
(聽說有人筆試考99分 = =")

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bugmens

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3^# 大中小發表於 2011-6-16 21:13 只看該作者

\( \overline{AB} \cdot \overline{CD}+\overline{AD} \cdot \overline{BC}=\overline{AC}\cdot \overline{BD} \)
其中\( \displaystyle \overline{AC},\overline{BD} \)也能用a,b,c,d來表示

托勒密定理的逆定理

2011.6.17
感謝老王老師指教，我的方法是錯誤的
在PTT老王老師給了正確的解法
http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1308238480.A.2BA.html

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-17 05:53 AM 編輯 ]

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2011-6-16 21:59

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arend

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4^# 大中小發表於 2011-6-16 22:46 只看該作者

請問華江填充第二題
求((x-4)^2+(y-1)^2+(x+y-3)^2)^2+((x-4)^2+(y-1)^2+(x+y-9)^2)^2的最小值
這題幾何意義為何
謝謝

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weiye

瑋岳

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5^# 大中小發表於 2011-6-16 23:18 只看該作者

回復 4# arend 的帖子

令 \(A(4,1,3), B(4,1,9),Q=(A+B)/2=(4,1,6)\)

且 \(P(x,y,z)\) 為平面 \(z=x+y\) 上的動點，

因為 \(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2 = 2(\overline{AQ}^2+\overline{PQ}^2)\)（即三角形的中線定理）

所以，當 \(P\) 為 \(Q\) 在平面 \(x+y-z=0\) 的垂足時，

　　　\(\overline{PQ}\) 有最小值，

　　　此時 \(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\) 會有最小值。

多喝水。

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arend

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6^# 大中小發表於 2011-6-17 00:17 只看該作者

謝謝瑋岳老師
不過不好意思,剛剛我打錯了,應該是( ....)^0.5+(.......)^0.5
就是求PA+PB的最小值
謝謝

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weiye

瑋岳

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7^# 大中小發表於 2011-6-17 08:12 只看該作者

回復 6# arend 的帖子

其實我上面的回覆也看錯了，

因為 \(\left(\left(x-4\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x+y-3\right)^2\right)^2+\left(\left(x-4\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x+y-9\right)^2\right)^2=PA^4+PB^4\)

而不是 \(PA^2+PB^2\) .... 哈～我眼花也看錯！

如果原題目是 \(\sqrt{\left(x-4\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x+y-3\right)^2}+\sqrt{\left(x-4\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x+y-9\right)^2}=\overline{PA}+\overline{PB}\)

因為 \(A,B\) 在 \(x+y-z=0\) 的異側，

所以直接找直線 \(\overleftrightarrow AB\) 與 \(x+y-z=0\) 的交點，即為 \(P\) 點，

且所求最小值為 \(\overline{AB}\) 長度。

多喝水。

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arend

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8^# 大中小發表於 2011-6-17 15:12 只看該作者

謝謝瑋岳老師
可否再請教一題(華江計算證明第一題)
一個三次多項式f(x)與一直線交於三點(a,f(a)), (b, f(b)) , (c , f(c)), 證f(x)的反曲點座標為( (a+b+c)/3 , f( (a+b+c)/3))
一點頭緒都沒有

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老王

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9^# 大中小發表於 2011-6-17 16:52 只看該作者

回復 8# arend 的帖子

假設此三次多項式為\( f(x)=px^3+qx^2+rx+s \)
直線為\( y=mx+k \)
交點x坐標就是方程式\( f(x)=mx+k \)的三個根
所以有
\(\displaystyle a+b+c=-\frac{q}{p} \)
而
\(\displaystyle f ^{\prime} (x)=3px^2+2qx+r, f '' (x)=6px+2q \)
反曲點的x坐標為
\(\displaystyle -\frac{2q}{6p}=\frac{a+b+c}{3} \)

[ 本帖最後由老王於 2011-6-19 12:28 PM 編輯 ]

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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老王

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10^# 大中小發表於 2011-6-17 17:09 只看該作者

回復 3# bugmens 的帖子

在這邊也PO一下好了
我不大確定答案是否就是我所寫的b+c+d>a
也可以從bugmens大大所提供的婆羅門笈多公式(說實話，這我沒背)
然後列出AB+b>a或是BD+d>a都可以推到b+c+d>a
也不必像我這樣去做圓內接四邊形
先做出一條對角線即可
由公式可以知道對角線是可造的，那麼這個圓內接四邊形也就可造

如果有人知道華江的正確解答，也請告知。

給定可圍成四邊形的四邊長，做圓內接四邊形
http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl ... ev=-1&next=5129

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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