104鳳山高中

如附件

想請教#3  #13

2.
坐標平面上，不等式\( |\; x |\;+|\; y |\;+|\; x+y |\; \le 2 \)所圍成之區域面積為　　　。

滿足\(  |\; x |\;+|\; y |\;+|\; x+y-1 |\; = 1 \)的所有點\( (x,y) \)在坐標平面上所形成的區域面積為　　　。
(102松山工農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=1#pid8768)


9.
設\( P(x,y) \)為雙曲線\( 9x^2-16y^2=144 \)上一點，且\( P \)點在第一象限內，則\( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{x \vert\; 3x-4y \vert\;}= \)　　　。
(高中數學101第67單元　雙曲線(一)定義與標準式的演練題第6題)


13.
若三次方程式\( x^3-x^2+2x-3=0 \)的三個根分別為\( a,b,c \)，則\( \displaystyle \frac{a^3}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}+\frac{b^3}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)}+\frac{c^3}{(c^2-a^2)(c^2-b^2)}= \)　　　。

設\( a+b+c=3 \)，\( a^2+b^2+c^2=45 \)
(1)求\( \displaystyle \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}= \)？
(2)求\( \displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)}= \)？
(102中正高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1576&page=1#pid7884)


15.
已知實數\( x,y,a,b \)滿足\( \cases{ax+by=1 \cr ax^2+by^2=2 \cr ax^3+by^3=8 \cr ax^5+by^5=100} \)，則\( ax^4+by^4= \)　　　。
類題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=799&page=1#pid1495
PTT數學版網友XII提供的速解法
設\( ax^4+by^4=x \)
計算\( \Bigg\vert\; \matrix{1 & 2 & 8 \cr 2 & 8 & x \cr 8 & x &100} \Bigg\vert\;=0 \)，求\( x \)

第3題我算3-根號3，利用座標化找出直線方程式算的，第13我算-2，不曉得正不正確

13 我也算 -2

根與係數有
\( a^2 +b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = 1^2 -4 = -3 \Rightarrow b^2 + c^2 = -3 -a^2 \)

\( x=a^2, b^2, c^2 \) 時下式左式之值皆為 1，又為二次以下多項式，故

\( \displaystyle \frac{(x-b^{2})(x-c^{2})}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}+\frac{(x-a^{2})(x-c^{2})}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}+\frac{(x-a^{2})(x-b^{2})}{(c^{2}-a^{2})(c^{2}-b^{2})}=1 \)

因此 \( \displaystyle \frac{3+a^{2}}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}+\frac{3+b^{2}}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}+\frac{3+c^{2}}{(c^{2}-a^{2})(c^{2}-b^{2})}=0=\frac{1}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}+\frac{1}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}+\frac{1}{(c^{2}-a^{2})(c^{2}-b^{2})} \)
(平方項及一次項係數)

再用 \( a^3 = a^2 - 2a +3 \), (b, c 亦同) 化簡所求 \( = \displaystyle \frac{-2a}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}+\frac{-2b}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}+\frac{-2c}{(c^{2}-a^{2})(c^{2}-b^{2})} = 2\frac{ab^{2}-ac^{2}-ba^{2}+bc^{2}+ca^{2}-cb^{2}}{(a-b)(b-c)(c-a)(1-c)(1-b)(1-a)} \)

其中 \( (a-b)(b-c)(c-a) = ab^2 - ac^2 - ba^2 + bc^2 + ca^2 - cb^2 \)，故所求 \( = \displaystyle \frac{2}{(1-c)(1-b)(1-a)} \)

分母之值為原三次多項式以 \( x=1 \) 代入，故得 \( \frac{2}{-1} = -2 \)

第 3 題
小弟是算\(\frac{7+5\sqrt{3}}{13}\)

想請問第7題
算紅球一直小於白球的總數
Catalan number 有組合的解釋方法嗎
因為一直不懂那個數字代表的涵義
網路上大多只有結論

第15題的速解法原理是?
所以有兩個解?
我用速解方法解類題似乎無法得到答案

請問  7  ,12 , 16  謝謝

15 提的另外一個解代回時會讓x y 沒有實數解  所以 那個解不合!!!!
我考試時也是用速解法  疑惑了許久!!!
不知道對不對

恩  我是用基本類推  帶入消去反覆得到答案的
只是覺得速解有點神乎奇技
想了解其思考的方向