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102學測 數學科

102學測 數學科

想請問今年學測多選第11題 應如何解釋 ?謝謝各位老師

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03-102學測數學定稿.pdf (310.16 KB)

2013-1-29 16:07, 下載次數: 11421

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回復 1# kittyyaya 的帖子

我的想法為:正方形四頂點到中心等距離

設橢圓的方程式為 \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \) \( a>b \),橢圓的點以參數式表示 \( P(a\cos \theta,b\sin \theta) \)

計算其與焦點 \( F_1(c,0) \)  的距離可得 \( a- c \cos \theta \)

其在 \( 0 \leq \theta \leq \pi \) 中,為遞增函數,因此上半橢圓至少一點為正方形之頂點,下半橢圓亦然

因此至多兩個頂點在楕圓上,上下對稱(正方形擺正)可以剛好兩個,轉 \( 90^\circ \) 讓長軸的端點為正方形的頂點時則為 1 個

正方形很大或很小的話,可以造出 0 個,故答案為 125 (0,1, 或 2個)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-1-29 11:49 PM 編輯 ]
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回復 1# kittyyaya 的帖子

多選第11題:

取先取個例子:\(\displaystyle \Gamma: \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\),\(\displaystyle a=5, b=4, c=3\Rightarrow a-c=2, \frac{b^2}{a}=3.2\)

選項一:取正方形兩對角線分別平行 \(x,y\) 軸,且一半的對角線長為 \(2\)。

選項二:取正方形兩對角線分別平行 \(x,y\) 軸,且一半的對角線長為 \(3.2\)。

選項三、四:因為橢圓上至多兩點(此兩點對稱長軸)到 \(F_1\) 的距離會相同,

      所以不可能有三個以上的點到 \(F_1\) 的距離相同。

      (設 \(P\) 為 \(\Gamma\) 上的定點,而 \(Q\) 為 \(\Gamma\) 上異於 \(P\) 且滿足 \(\overline{PF_1}=\overline{QF_1}\) 的動點,

       則 \(\overline{PF_2}=2a-\overline{PF_1}=2a-\overline{QF_1}=\overline{QF_2}\)

       且因為 \(\overline{F_1F_2}=\overline{F_1F_2}\),所以 \(\triangle PF_1F_2\) 全等於 \(\triangle QF_1F_2\)

       由圖形,可知恰只有一點 \(Q\) (\(P,Q\) 對稱於長軸)滿足上述全等條件~三角形三內角角度唯一確定(\(F_1, F_2\) 不可交換位置喔!)~)

選項五:取正方形兩對角線分別平行 \(x,y\) 軸,且一半的對角線長為 \(1\)。

多喝水。

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感謝兩位老師解答
寸絲老師 橢圓的參數式在99正綱已經改到高三自然組了 不適合對高三社會組說明
瑋岳老師 您的PF1=QF1 P Q是在正方形的頂點嗎
另外 可以請教各位老師 這題主要考學生的目的何在 開學後不知該如何對學生說明

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回復 4# kittyyaya 的帖子

\(P,Q\) 是在說明~橢圓上至多兩點到 \(F_1\) 的距離會相同。

你要把它當頂點也可以,如果有 \(R\) 也滿足 \(\overline{RF_1}=\overline{PF_1}=\overline{QF_1}\),

則 \(R\) 必定是 \(P\) 或 \(Q\) 的其中一點。

多喝水。

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102學測數學多選10詳解

102學測數學多選10詳解,如附件檔案,請大家指教

附件

102學測複選10詳解.png (43.38 KB)

2013-1-30 20:49

102學測複選10詳解.png

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以橢圓一焦點F1為圓心做一圓,

  此圓跟橢圓的交點個數只有三種可能:0,1,2

   不可能3個、4個交點

    故可以推測以焦點F1為中心的正方形和橢圓交點個數只有三種可能

    0,1,2

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102學測數學科完整詳解(部分題含一題多解)

請方家指正益進
謝謝

附件

102年學測數學試題+詳解(俞老師)正式S.pdf (351.87 KB)

2013-2-5 14:17, 下載次數: 12595

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連高中補習班的俞老師都加入這個大家庭,相信這個討論區內容一定會越來越豐富!!

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想請教20,27,30題  謝謝

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