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數列不等式,數學歸納法之外的方法

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數列不等式,數學歸納法之外的方法

請問對於所有的自然數n>1, 2^n+3^n<4^n , 及3^n+4^n<=5^n
有沒有數學歸納法之外的方法可以說明這兩個不等式是正確的?

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回復 1# larson 的帖子

對於所有大於 1 的自然數 \( n \), 不等式  \( 3^n + 4^n \leq 5^n \) 恆成立
證. 設 \( n \) 為大於 1 的自然數,則 \( n\geq 2\)

\( 5^n = 25\cdot 5^{n-2} = 9 \cdot 5^{n-2} + 16 \cdot 5^{n-2} \geq 9\cdot 3^{n-2} + 16\cdot 4^{n-2} = 3^n +4^n \),故得證。

另一個命題,留著自己試試吧
文不成,武不就

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回復 1# larson 的帖子

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謝謝兩位老師

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