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103育成高中

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103育成高中

Prove that the number \( \underbrace{111\ldots 11}_{1997}\underbrace{22\ldots 22}_{1998}5 \)(which has 1997 of 1-s and 1998 of 2-s) is a perfect square.
http://www.artofproblemsolving.c ... p?f=151&t=58633 
https://math.pro/db/thread-586-1-3.html

附件

103育成高中.zip (24.25 KB)

2014-7-30 20:28, 下載次數: 9787

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請問第1,2,5,6題
感謝 ^^

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引用:
原帖由 艾瑞卡 於 2014-8-1 08:54 AM 發表
請問第1,2,5,6題
感謝 ^^
#5
假設向量p=(a,b)  ,向量q=(c,d) ,θ為兩向量的夾角
則|向量p|=√25=5 ,|向量q|=√36=6
向量p∙向量q=5*6*cosθ =15
cosθ=1/2 ,θ=60度
所求=兩向量所張成的平行四邊形面積
=5*6*sin60度
=15√3

#2
依題意可設 x=a^2014 ,b^2014
為(x-c^2014)*(x-d^2014)=2014兩解
方程式整理得
x^2-(c^2014+d^2014)x+(cd)^2014-2014=0
由根與係數得
(a^2014)*(b^2014)=(ab)^2014
=(cd)^2014-2014
所以(ab)^2014-(cd)^2014= -2014

#1
√(44-8)=6
√(4444-88)=66
√(444444-888)=666
......
剩下自己想喔~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-8-1 10:04 AM 編輯 ]

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第1題
\(\begin{align}
  & \sqrt{\underbrace{444\cdots 4}_{20個}-\underbrace{888\cdots 8}_{10個}} \\
& =\sqrt{\underbrace{444\cdots 4}_{10個}\left( 1\underbrace{000\cdots 0}_{9個}1-2 \right)} \\
& =\sqrt{\underbrace{444\cdots 4}_{10個}\times \underbrace{999\cdots 9}_{10個}} \\
& =\underbrace{111\cdots 1}_{10個}\times 2\times 3 \\
& =\underbrace{666\cdots 6}_{10個} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-8-1 10:14 AM 編輯 ]

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引用:
原帖由 艾瑞卡 於 2014-8-1 08:54 AM 發表
請問第1,2,5,6題
感謝 ^^
第五題:

利用丟番圖恆等式
(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
15^2+(ad-bc)^2=25*36
  (ad-bc)^2=675
    |ad-bc|=15根號3

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第 6 題
最左邊的牌,最大是 8,因為若是 10 或 9,甲一看就知道另二張牌是 2 和 1 或 3 和 1
最左邊的牌,最小是 6

最右邊的牌,最大是 2,因為若是 3,乙一看就知道另二張牌是 6 和 4

如此剩以下五種可能
8,4,1
8,3,2
7,5,1
7,4,2
6,5,2

丙看了中間的牌,且不確定另二張牌是多少,故中間牌的數字是 4 或 5

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-8-1 04:56 PM 編輯 ]

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謝謝Ellipse thepiano wen0623 老師們的解說

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想請教第7題 謝謝

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第 7 題
考慮以下條件在空間中所形成的型體,用幾何機率去處理,答案是 1/2
0 ≦ x ≦ a
0 ≦ y ≦ a
0 ≦ z ≦ a
x + y > z
y + z > x
z + x > y

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第6題原題目應該是從左到右遞增喔
所以正確答案應該只有4

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