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2000AMC12一題

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2000AMC12一題

若 a+b+c =10 , 求 abc+ab+ac+bc的最大值 ? (amc的試題)

補上條件 a,b,c為非負整數

(題本參考解法)

abc+ab+ac+bc=(a+1)(b+1)(c+1)-(a+b+c)-1   <= 如何得到的呢?




101.11.13版主補充
修改文章標題和補上出處
Let A,M,C and  be nonnegative integers such that \( A+M+C=12 \). What is the maximum value of \( A \cdot M \cdot C+A \cdot M+M \cdot C+C \cdot A \)?
(A)62 (B)72 (C)92 (D)102 (E)112
(2000AMC12,http://www.artofproblemsolving.c ... id=44&year=2000)

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回復 1# s6423579 的帖子

引用:
原帖由 s6423579 於 2012-11-13 09:29 AM 發表
若 a+b+c =10 , 求 abc+ab+ac+bc的最大值 ? (amc的試題)
取 \(a=2k+10, b=-k, c=-k\),其中 \(k\in\mathbb{R}\)

則 \(a+b+c=10\) 且 \(abc+ab+bc+ca=2k^3-7k^2-20k\)

當 \(k\to\infty\) 時,\(abc+ab+bc+ca\to\infty\)。

故,\(abc+ab+bc+ca\) 無最大值。


註:題目的 \(a,b,c\) 如果沒有「其它限制」的話,所求是沒有最大值的。

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回復 1# s6423579 的帖子

如果題目如 2000 年 AMC 的原始題目為 \(a,b,c\) 是"非負整數"且 \(a+b+c=12\) 的話,

則 \(abc+ab+bc+ca=(1+a)(1+b)(1+c)-1-(a+b+c)=(1+a)(1+b)(1+c)-13\)



由算幾不等式,可得 \(\displaystyle\frac{(1+a)+(1+b)+(1+c)}{3}\geq \sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}\Leftrightarrow 125\geq(1+a)(1+b)(1+c)\)

           \(\Leftrightarrow 112 \geq (1+a)(1+b)(1+c)-13\)

           \(\Leftrightarrow 112 \geq abc+ab+bc+ca\)

且當等號成立時,\(a=b=c=4\)。



註:把 \((1+a)(1+b)(1+c)\) 乘法展開~會有 \(a\cdot b\cdot c, 1\cdot a\cdot b, 1\cdot b\cdot c,1\cdot a\cdot c, 1\cdot 1\cdot a, 1\cdot 1\cdot b, 1\cdot 1\cdot c, 1\cdot 1\cdot 1\) 各一個,

  所以 \((1+a)(1+b)(1+c)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\)

     \(\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca=(1+a)(1+b)(1+c)-1-(a+b+c)\)

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回復 3# weiye 的帖子

abc+ab+ac+bc=(a+1)(b+1)(c+1)-(a+b+c)-1   這一步,如何聯想到的呢?

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回復 4# s6423579 的帖子

\(abc+ab+ac+bc\) 就是 \(a,b,c\) 任選三個相乘,加上~任選兩個相乘~

就會想說~其它的(任選一個、零個相乘)跑去哪裡了?

全部補齊的話,就是 \(abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\)

可是~那就是 \((1+a)(1+b)(1+c)\) 呀!

所以把 \((1+a)(1+b)(1+c)\) 扣掉題目沒有的 \(a+b+c+1\),就會是題目要問的 \(abc+ab+ac+bc\) 了!

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