個人淺見如下:
基於經驗，這類題目常用同餘分析法解題，關鍵是"模"的選取。
首先計畫以某正整數為模，將所有整數分類，並依此分類考察完全立方數對於某個"模"(不一定是前述分類用的模)的餘數情形。
由於 ( a + b )³ 的展開式係數依序是 (1,3,3,1)，配合這個係數，自然想到用 "3" 來將整數分類，以得出較有用(較強)的結果:
先將整數分類為 3k, 3k ± 1，將之立方:
(3k)³ = 3³k³
(3k ± 1)³ = (3³k³ ± 3³k² + 3²k ± 1)
綜合以上兩式知，完全立方數除以 9 的餘數只能是 0, 1, -1。當然也能說完全立方數除以 3 的餘數只能是 0, 1, -1，但原則上用較強的結論對往後的推理較佳 (以 9 為模是本分類的最強結論)。
注意到以上之所以得到比"以3為模"更強的結果是因考察了(1,3,3,1) 這個係數。作為對比，如果以 2 為模的話:
(2k)³ = 2³k³
(2k + 1)³ = (2³k³ + 3*2²k² + 3*2k + 1)
由於 "2" 跟係數不配合，似乎就得不到有用的結果了。
然而在以下題目則不然:
試證數列 11, 111, 1111, ..., 中的每一個數都不是完全平方數(中山雙週91學年度第一學期第二題)。
由於 ( a + b )² 的展開式係數依序是 (1,2,1)，配合這個係數，用 "2" 來將整數分類就很適當了。
[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-4-4 11:02 PM 編輯 ]
