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103南大附中

103南大附中

想請教填4和填11謝謝

附件

數學題目1.pdf (498.61 KB)

2014-6-15 21:33, 下載次數: 10113

數學題目2.pdf (399.87 KB)

2014-6-15 21:33, 下載次數: 9614

數學參考答案.pdf (240.5 KB)

2014-6-15 21:33, 下載次數: 10055

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2.
在底面半徑為6的圓柱內,有兩個半徑也為6的球面,其球心相距20。若作一平面與這兩球面相切,且與圓柱體相交成一橢圓,則此橢圓的長軸為  
[解答]
長軸長等於球心距

在底面半徑為6的圓柱內,有兩個半徑也為6的球面,其球心距為13。今有一平面與這兩球面相切,且與圓柱面相交成一橢圓,則這個橢圓的長軸與短軸長之和為  
(99中正高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=981&page=3#pid4693)



3.
某班有10位學生,投票表達其較喜歡英文老師或數學老師,每人一票且必須投給一位老師,不能兩位老師都選或都不選。開票時,逐一開票。假設,每位學生投給老師的機率均為\( \displaystyle \frac{1}{2} \)。請問,在數學老師的總得票數為6票之條件下,數學老師的得票數在開票過程中,一路領先於英文老師的得票數之機率為  
[公式]
\( \displaystyle \frac{6-4}{6+4}=\frac{1}{5} \)


13.
求兩圓柱體\( x^2+y^2 \le 1 \)與\( x^2+z^2 \le 1 \)所共有部份體積是  

求計算\( x^2+y^2\le 1 \),\( y^2+z^2\le 1 \)之共同部分體積
(98彰化女中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1312)



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計算1.
\( \Delta ABC \)中,設\( \overline{BC} \),\( \overline{AC} \),\( \overline{AB} \)邊上的高分別為\( h_a \),\( h_b \),\( h_c \),內接圓半徑為r。試證:\( h_a+h_b+h_c \ge 9 r \)
[證明]
\( \displaystyle \Delta=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a=\frac{1}{2} \cdot (a+b+c) \cdot r \),得\( \displaystyle h_a=\frac{a+b+c}{a}r \)

同理\( \displaystyle h_b=\frac{a+b+c}{b}r \),\( \displaystyle h_c=\frac{a+b+c}{c}r \)

\( \displaystyle h_a+h_b+h_c=r(a+b+c) \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \ge 9 r \)

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103 年南大附中第11題

原來是我看錯題目了,謝謝拉

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回復 1# natureling 的帖子

第4題:
先觀察原行列式可化簡為
\(\frac{1}{{{\left( abc \right)}^{2}}}\left| \begin{matrix}
   1 & {{a}^{2}} & {{a}^{3}}  \\
   1 & {{b}^{2}} & {{b}^{3}}  \\
   1 & {{c}^{2}} & {{c}^{3}}  \\
\end{matrix} \right|\), 後面的行列式硬爆開也可以,
但也可以考慮此為缺行的凡德孟行列式,
令函數\(g\left( x \right)=\left| \begin{matrix}
   1 & a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}}  \\
   1 & b & {{b}^{2}} & {{b}^{3}}  \\
   1 & c & {{c}^{2}} & {{c}^{3}}  \\
   1 & x & {{x}^{2}} & {{x}^{3}}  \\
\end{matrix} \right|=\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( b-a \right)\left( c-a \right)\left( c-b \right)\)
則 \(\left| \begin{matrix}
   1 & {{a}^{2}} & {{a}^{3}}  \\
   1 & {{b}^{2}} & {{b}^{3}}  \\
   1 & {{c}^{2}} & {{c}^{3}}  \\
\end{matrix} \right|\) 就是函數\(g\)的\(x\)項係數,故所求
\(\frac{1}{{{\left( abc \right)}^{2}}}\left| \begin{matrix}
   1 & {{a}^{2}} & {{a}^{3}}  \\
   1 & {{b}^{2}} & {{b}^{3}}  \\
   1 & {{c}^{2}} & {{c}^{3}}  \\
\end{matrix} \right|=\frac{ab+bc+ca}{{{\left( abc \right)}^{2}}}\left( b-a \right)\left( c-a \right)\left( c-b \right)\Rightarrow f\left( a,b,c \right)=\frac{ab+bc+ca}{{{\left( abc \right)}^{2}}}\)

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引用:
原帖由 sun 於 2014-6-15 10:10 PM 發表
填充4和填充11
請各位高手幫我確定一下吧! 如果是的話,請有去考的考生明天一早趕快去申訴,搞不好就差一題進複試了。
填充 11
後面 y 的部份只有 3 個絕對值

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問問題~

想請問填充6.9.15 謝謝!!

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回復 4# hua0127 的帖子

帥喔~解得漂亮~

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回復 6# subway 的帖子

#6
k/(k+3)² = (1/k)* 1/ [1+3/k]²
所求=∫ {0 to 1}  1/(1+3x)²  dx
(令u=3x+1 , du=3dx , x=0時,u=1 ;x=1時,u=4)
= (1/3) ∫ {1 to 4}  1/u²  du
=(-1/3)* u^(-1)  | {1 to 4}
=(-1/3)* (1/4 -1/1)
=1/4

#9
疊合~
2y+ycosx=cox+2sinx
2y=(1-y)cosx+2sinx
2y=[(1-y)²+4]^0.5* cos(x+a)
|2y|/[(1-y)²+4]^0.5<=1
解得-5/3<=y<=1

#12
歐拉公式~

#14
唬人的~題目雖是空間敘述
但可用柯西不等式~

# 15
所求=∫ {0 to 1}  [cos(πx/4)]²  dx
=(1/2)∫ {0 to 1}  [cos(πx/2)+1]  dx  (兩倍角公式)
=(1/2) [ (2/π)*sin(πx/2) +x ] |  {0 to 1}
=(1/2)[ 2/π +1]
=1/π +1/2

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回復 6# subway 的帖子

補充填充9:
橢圓兄有在 103華僑中學 的主題表演過n種解法XD,也可參考
https://math.pro/db/thread-1886-1-2.html

計算1:
\(a{{h}_{a}}=b{{h}_{b}}=c{{h}_{c}}=2rs=r\left( a+b+c \right)\) , 利用柯西不等式
\({{h}_{a}}+{{h}_{b}}+{{h}_{c}}=r\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 9r\),
等號成立在正三角形時

(沒看到 bugmens 版主已在#2 有PO解法XD)

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回復 9# hua0127 的帖子

謝謝前輩們
那可以繼續請問第9題要怎麼看成幾何的斜率嗎?
謝謝~

想順便再問第三題

為什麼不能是 90 / C(10,6) = 3/7 呢?

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未命名.png (11.17 KB)

2014-6-16 13:20

未命名.png

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