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101明道中學

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可否請教一題遞迴問題
a1=0,
an+1=(1+an)/(3-an)
求an的一般式?

謝謝

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回復 1# m4su6 的帖子

先解特徵根 \(\displaystyle x=\frac{1+x}{3-x}\) ,得 \(x=1\) (重根)

令 \(\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-1}\)

則 \(\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}-1}=\frac{1}{\frac{1+a_n}{3-a_n}-1}=\frac{1}{a_n-1}+\frac{-1}{2}=b_n-\frac{1}{2}\)

因此 \(<b_n>\) 數列是首項為 \(-1\) 且公差為 \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) 的等差數列,

得 \(\displaystyle b_n=-1+\left(n-1\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) =-\frac{n+1}{2}\)

且 \(\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-1}\Rightarrow a_n=\frac{1}{b_n}+1=\frac{n-1}{n+1}\)

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當初解到重根後就不知怎麼繼續下手,
謝謝瑋岳老師

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