相似形

如附圖!!

感謝指教

第 1 小題：

如圖，設 \(\overline{BC}\) 的延長線與 \(\overline{AE}\) 的延長線交於 \(J\)

因為 \(\triangle AED\sim \triangle JEC\)

所以 \(\overline{AE}:\overline{EJ}=\overline{DE}:\overline{EC}=m:(8-m)\)

\(\displaystyle\Rightarrow \overline{AH}:\overline{HE}:\overline{EJ}=\frac{m}{2}:\frac{m}{2}:(8-m)\)

\(\displaystyle\Rightarrow \overline{AH}:\overline{HJ}=\frac{m}{2}:\left(\frac{m}{2}+(8-m)\right)=m:(16-m)\)

且因為 \(\triangle AFH\sim\triangle JKH\)

所以 \(\overline{FH}:\overline{HK}=\overline{AH}:\overline{HJ}=m:(16-m)\)

因此，\(\displaystyle t=\frac{m}{16-m}\)

第二小題：

\(\displaystyle t=\frac{1}{3}=\frac{m}{16-m}\Rightarrow m=4\)

\(\displaystyle\overline{AE}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\Rightarrow \overline{AH}=2\sqrt{5}\)

因為 \(\triangle AHG\sim\triangle EDA\)

所以 \(\overline{AG}:\overline{AH}=\overline{AE}:\overline{DE}=\sqrt{5}:1\)

\(\Rightarrow \overline{AG}=\sqrt{5}\cdot \overline{AH}=10\)

\(\Rightarrow \overline{BG}=10-8=2.\)

提供另ㄧ個想法:
建立坐標系
令A原點(0,0) ,AB在X軸上,AD在Y軸上,則E(m,8)
因為FG為AE中垂線,H為AE中點,H(m/2 ,4)
假設F(0,a),K(8,b)
依題意知向量AH=t/(1+t)*向量AK+1/(1+t)*向量AF
(m/2,4)=[t/(1+t)]*(8,b)+[1/(1+t)]*(0,a)
可知m/2 =8t/(1+t)
t=m/(16-m)

如附圖，謝謝指教

因為 \(G\) 為重心，且 \(\overline{DE}//\overline{AB}\)，可知 \(\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{AE}:\overline{EC}=1:2\)

因為 \(\overline{DF}//\overline{AC}\)，可知 \(\overline{BF}:\overline{FA}=\overline{BD}:\overline{DC}= 1:2\)

令 \(\overline{AB}=3x\)，則 \(\overline{AF}=2x,\overline{AC}=3\sqrt{2}x, \overline{AE}=\sqrt{2} x\)

因為 \(\displaystyle\frac{\overline{AE}}{\overline{AF}}=\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}\)，且 \(\triangle EAF=\triangle BAC\)，可得 \(\triangle AEF\sim \triangle ABC\)（ＳＡＳ相似），

因此 \(\displaystyle\frac{\overline{EF}}{\overline{BC}}=\displaystyle\frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}\) \(\displaystyle \Rightarrow \overline{EF}=\frac{5\sqrt{2}}{3}.\)

如附圖

四邊形ABCD中，已知\( AD//BC，AB \perp AC，AB=AC，BC=BD \)，則\( \angle CED=? \)

作\( AF \perp BC \)於F，\( DG \perp BC \)於G，那麼\( AF=BG \)
又三角形ABC為等腰直角三角形，所以\( AF=\frac{1}{2}BC \)
因此 \( DG=\frac{1}{2}BD \)
三角形DBG為30-60-90的直角三角形，
\( \angle DBG=30^o \)
所以\( \angle CED=75^o \)

如附圖

暫時找不到比較好的方法,只好先用解析幾何硬做
令B(0,0),C(2a,0),AB=AC=b,則A坐標為(a,(b^2-a^2)^0.5)
由相似三角形得EC=a^2/b ,則AE=b-a^2/b=(b^2-a^2)/b

向量BE=(1/b)*(a^2/b)*向量BA +(1/b)*((b^2-a^2)/b)*向量BC
=(a^2/b^2)*(a,(b^2-a^2)^0.5 )+((b^2-a^2)/b^2)*(2a,0)
=((2ab^2-a^3)/b^2 ,a^2(b^2-a^2)^0.5/b^2)
所以E坐標為((2ab^2-a^3)/b^2 ,a^2(b^2-a^2)^0.5/b^2)

F為DE中點,所以向量AF=(1/2)*向量AE+(1/2)*向量AD
=((ab^3-a^3)/(2b^2) ,(a^2-2b^2)(b^2-a^2)^0.5/(2b^2))

向量AF*向量BE
=(ab^2-a^3)*(2ab^2-a^3)/(2b^4)+a^2*(a^2-2b^2)(b^2-a^2)/(2b^4)
=[a^2*(b^2-a^2)(2b^2-a^2)+a^2*(a^2-2b^2)*(b^2-a^2)]/(2b^4)
=0
所以向量AF垂直向量BE
因此AF垂直BE


101.4.21版主補充資料
在"通過問題學解題"也有這題
可以在"我的教甄準備之路"第7篇下載圖檔
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834
http://forum.nta.org.tw/examserv ... 079&postcount=7
書中解答也是用座標化，但假設的位置不同計算量較小

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-4-21 08:56 PM 編輯 ]

這個以前費瑪問過了

延長\( AF \)到 \( H \)使得\( FH=AF \)，
連接\( DH \)和\( EH \)，那麼\( ADHE \)是平行四邊形
所以\( DH \perp DE \)
於是\( \angle BDE=\angle ADH \)
又\( \bigtriangleup ABD \sim \bigtriangleup ADE \)
有\( AD : AE=BD : DE \)
於是\( AD : DH=BD : DE \Rightarrow  AD : BD=DH : DE \)
\( \bigtriangleup ADH \sim \bigtriangleup BDE \)
故\( \angle DAF=\angle DBE \)
若\( AF \)和\( BE \)交於\( K \)
就有\( A，B，D，K \)共圓
\( \angle AKB=\angle ADB=90^o \)
\( AF \perp BE \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-4-21 07:25 PM 編輯 ]