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三角形ABC中，已知AB=AC，D是BC的中點，E在AB上且BE=BD.
以DE為矩形一邊，在三角形ABC內作矩形DEFG，使得F在AD上，若直線CG分別與AB,AD交於P,H，
試證明:AP=BE,PH=CG
首先，可以確定GDEF四點落在內切圓周上
令AP= x，AE=a，EB=b，EG=FD=2r，HF=c，HA=d，O為圓心
則有 \(\displaystyle \frac{AP}{PB}\frac{BC}{CD}\frac{DH}{HA}=1\)
得到 \(\displaystyle \frac{x}{a+b-x}\frac{2b}{b}\frac{2r-c}{d}=1\) ， \(\displaystyle x=\frac{(a+b)d}{4r-2c+d}\)
以及 \(\displaystyle \frac{AP}{PE}\frac{EG}{GO}\frac{OH}{HA}=1\)
得到 \(\displaystyle \frac{x}{a-x}\frac{2r}{r}\frac{r-c}{d}=1\) ， \(\displaystyle x=\frac{ad}{2r-2c+d}\)
因此 \(\displaystyle x=\frac{(a+b)d-ad}{4r-2c+d-(2r-2c+d)}=\frac{bd}{2r}\)
只要再說明 \(d=2r\) 即可:
由 \(\displaystyle x=\frac{ad}{2r-2c+d}=x=\frac{bd}{2r}\) ， 得到 \(2ar=2br-2bc+bd\)
再由面積關係得到 \((2a+4b)r=2b(2r+d-c)\) ， \(2ar=2bd-2bc\)
於是 \(2br-2bc+bd=2ar=2bd-2bc\) ， \(d=2r\)
因此 \(AP=x=b=BE\)
註: 若 H 交在圓外，方法相同，算式只是將 c 改成 -c
本題重點在於利用孟式定理 將 CGHP 四點共線的條件用上 (需用兩次定理)
第2小題 PH=CG 可以利用上面的結果，經由向量推導而得:
\(\vec{PH}=\vec{PA}+\vec{AH}=\vec{BE}+\vec{FD}=\vec{BD}+\vec{DE}+\vec{FD}=\vec{DC}+\vec{GF}+\vec{FD}=\vec{DC}+\vec{GD}=\vec{GC}\)
因此 PH=GC
[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-9-11 10:46 PM 編輯 ]
