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109全國高中職聯招

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109全國高中職聯招

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03-5003數學科(公告用).pdf (323.75 KB)

2020-6-6 12:07, 下載次數: 2090

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單選2.
已知某種快篩試劑對某病毒的檢驗,其「偽陰率」為8%(即帶原者做檢驗有8%的機會呈陰性反應,其他呈陽性反應),而「偽陽率」為1% (即未帶原者做檢驗有1%的機會呈陽性反應,其他呈陰性反應)。某地區經快篩試劑篩檢後呈現陽性反應的民眾中有2% 為此病毒的帶原者,則此地區病毒的帶原者占全部人口的比例約為何?(A) 2% (B) 0.2% (C) 0.02% (D) 0.002% 。

已知某種快篩試劑對\(MERS\)病毒的檢驗,其「偽陰率」為9%(即帶原者做檢驗有9%的機會呈陰性反應,其他呈陽性反應),而「偽陽率」為1%(即未帶原者做檢驗有1%的機會呈陽性反應,其他呈陰性反應)。在\(K\)國\(H\)醫院病患經快篩試劑篩檢後,發現真正受\(MERS\)病毒感染的比例為\(\displaystyle \frac{1}{11}\),則此\(H\)醫院受此\(MERS\)病毒感染者占全部病患人口的比例為   
(103高雄中學段考試題)

單選4.
三個兩兩外切的圓,也都與直線相切,最大圓半徑為100,中圓的半徑為25,求最小圓的半徑為何?(A)\(\displaystyle \frac{100}{9}\) (B)\(\displaystyle \frac{10}{3}\) (C)\(\displaystyle \frac{36}{5}\) (D)\(\displaystyle \frac{18}{5}\)
[公式]
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r}}=\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{25}}\)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=819&page=1#pid1556

多選12.
設擲某銅板出現正面的機率為\(p\),\(0<p<1\)。連續擲此銅板4次,若第\(k\)次出現則得\(\displaystyle \frac{1}{2^k}\),否則得0,\(k=1,2,3,4\)。設總所得的期望值為\(a\),總所得超過\(\displaystyle \frac{1}{3}\)的機率為\(b\),則(A)\(a\)為\(p\)的一次多項式 (B)\(\displaystyle \frac{15}{16}<a<1\) (C)\(b\)為\(p\)的二次多項式 (D)\(p<b<p+p^2\)

擲某銅板出現正面的機率為\(p\),\(0<p<1\)。連續擲此銅板4次,若第\(k\)次出現正面則得\(\displaystyle \frac{1}{2^k}\),否則得0,\(k=\)1、2、3、4。若總所得超過\(\displaystyle \frac{1}{3}\)的機率為\(ap+bp^2+cp^3\)求\(a+b+c=\)   
(100北港高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1192&page=3#pid4281)

2.
\(\Delta ABC\)中,\(∠C=90^{\circ}\)且\(\overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB}\),已知\(∠ACD=\alpha,∠DCE=\beta,∠ECB=\gamma\),則\(\displaystyle \frac{sin \alpha \cdot sin \gamma}{sin \beta}=\)   
連結有解答
(100臺南二中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1101&page=1#pid3064)

填充6.
方程式\(sinx-3cosx=k\),在\(0\le x \le \pi\)的範圍內,有兩個相異的實數解,求實數\(k\)的範圍為   
連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2975&page=3#pid19272

填充9.
設甲袋中有2白球,乙袋中有3紅球,今每次自各袋中隨機取一球作交換,趨於穩定時,甲袋中有1白球1紅球之機率為   
\(\displaystyle \frac{C_1^2 C_1^3}{C_2^5}=\frac{3}{5}\)

甲袋中有1黑球2白球,乙袋中有1白球1黑球,每球被取到之機會相同,從甲袋中取1球讓入乙袋,再從乙袋中取1球放回甲袋,此叫一回合。試求長期操作後,當達穩定狀態時,甲袋中為2黑1白球之機率為   
(103新化高中,https://math.pro/db/thread-2022-1-1.html)
\(\displaystyle \frac{C_2^2 C_1^3}{C_3^5}=\frac{3}{10}\)

計算2.
將偶數數列\(S=\{\;2,4,6,\ldots,2n,\ldots \}\;\)排列為以下陣列,第\(i\)列第\(j\)行為\(a_{ij}\),例如,\(a_{32}=18\),試求一般項\(a_{ij}\)。
\(\matrix{&1&2&3&4&5&\ldots&j &行\cr
1&2&4&8&14&&&\cr
2&6&10&16&&&&\cr
3&12&18&&&&&\cr
4&20&&&&&&\cr
5&&&&&&&\cr
\vdots&&&&&&&\cr
i&&&&&&&a_{ij}\cr
列&&&&&&&}\)
[解答]
第2組數字2
第3組數字4,6
第4組數字8,10,12
第5組數字14,16,18,20
...
取每組開頭數字做差分
\(\matrix{&&&&第2組&&第3組&&第4組&&第5組\cr
4&&2&&2&&4&&8&&14\cr
&-2&&0&&2&&4&&6&\cr
&&2&&2&&2&&2&&}\)
第\(n\)組開頭數字\(=4\times C_0^n-2\times C_1^n+2\times C_2^n=n^2-3n+4\)
\(a_{ij}\)在第\(i+j\)組,開頭數字\((i+j)^2-3(i+j)+4\)在第1列
但\(a_{ij}\)在第\(i\)列再加上\(2(i-1)\)數字,\(a_{ij}=(i+j)^2-3(i+j)+4+2(i-1)=(i+j)^2-3(i+j)+2i+2\)

將自然數按下表的方式排列,從上到下第i列,從左至右第j行的數記為\( f(i,j) \),例如\( f(3,4)=18 \),試求\( f(45,45)= \)   
\( \matrix{1 & 2 & 4 & 7 & 11 & 16 & 22 & … \cr
3 & 5 & 8 & 12 & 17 & 23 & … &  \cr
6 & 9 & 13 & 18 & 24 & … &   &  \cr
10 & 14 & 19 & 25 & … &   &   &   \cr
15 & 20 & 26 & … &   &   &   &   \cr
21 & 27 & … &   &   &   &   &   \cr
28 & … &   &   &   &   &   &  } \)
(103彰化高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1890&page=1#pid10505)

計算3.
有一個底半徑為5公分的圓柱體,被一個通過直徑\(AB\)且與底面夾\(45^{\circ}\)角的平面所截,試求所截出的立體體積。
公式:\(\displaystyle \frac{2}{3}{{r}^{3}}\tan \theta \)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2556&page=1#pid16011

附件

103高雄中學段考試題.pdf (1.54 MB)

2020-6-9 21:22, 下載次數: 373

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想請教計算第一題

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回復 3# royan0837 的帖子

計算第1題
\(\begin{align}
  & y=\frac{x-1}{2x+3} \\
& x=\frac{3y+1}{1-2y} \\
\end{align}\)
代回原方程

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回復 4# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師

計算一算完答案是 \(19x^3+69x^2-2x-3=0\)

計算二 \(a_{ij}=i(i+2j-1)+(j-1)(j-2)\)

計算三 \(\frac{250}{3}\)

提供給其他老師參考。

[ 本帖最後由 royan0837 於 2020-6-6 20:01 編輯 ]

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回復 5# royan0837 的帖子

計算二:
對於任何格子裡的數 \(  a_{i j}  \) 都可以用\( k =i+j \) 來分組
像是 \(  a_{i j}  \) 屬於 \( k =i+j \) 組,而此組內的數由小(右上)到大(左下)排列依序為:
\( 2(1+2+3+...+(i+j-2))+2, 2(1+2+3+...+(i+j-2))+4, ..., 2(1+2+3+...+(i+j-2))+2(i+j-1) \)
因為 \(  a_{i j}  \) 是屬於此組的第\( i \)個,故
\( a_{i j} = 2(1+2+...+(i+j-2))+ 2i =(i+j-2)(i+j-1) +2i  \)
經整理後也可以得到樓上老師的答案

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回復 4# thepiano 的帖子

我用另外一個方法求,多繞了比較多路,考試還是計算錯誤了....

\( \displaystyle\frac{\alpha-1}{2\alpha+3}=\frac{\alpha-1}{2(\alpha-1)+5} \)

所以想先找 \(2+\displaystyle\frac{5}{\alpha-1}\)的方程式再倒根回來

我先平移對\(x=1\)展開,然後伸縮變\(\frac{1}{5}\),再來倒根一次,平移對\(x=-2\)展開,再倒根一次

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2020-6-6 22:18 編輯 ]

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請問填充7怎麼算呢?
我怎麼一直算出來是3/5(答案是給4/5)
謝謝

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回復 8# r95221013 的帖子

填充第 7 題
1 - (白球數一路領先紅球數的機率)

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引用:
原帖由 thepiano 於 2020-6-6 22:50 發表
填充第 7 題
1 - (白球數一路領先紅球數的機率)
謝謝,不小心算錯了XD

[ 本帖最後由 r95221013 於 2020-6-7 01:51 編輯 ]

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