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99松山工農

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99松山工農.rar (105.44 KB)

2010-6-16 23:39, 下載次數: 2636

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2.設\( \overline{AB} \)的長度為d,P是以\( \overline{AB} \)為直徑的半圓上的一個動點,且\( ∠PAB=\theta \)。令\( \overline{PA}+\overline{PB}=x \)
(1)將\( sin^6 \theta+cos^6 \theta \)表示成x的函數。(2)求\( sin^6 \theta+cos^6 \theta \)的最小值,並求此時θ和x的值。
[提示]
\( \displaystyle sin \theta+cos \theta =\frac{x}{d} \),\( \displaystyle sin \theta \cdot cos \theta=\frac{1}{2} \Bigg(\; \frac{x^2}{d^2}-1 \Bigg)\; \)
令\( f(n)=sin^n \theta+cos^n \theta \),\( f(n)=(sin \theta+cos \theta)f(n-1)-(sin \theta \cdot cos \theta)f(n-2) \)

\( \displaystyle f(1)=\frac{x}{d} \),\( f(2)=1 \)
\( \displaystyle f(3)=-\frac{x^3}{2d^3}+\frac{3x}{2d} \)

\( \displaystyle f(4)=-\frac{x^4}{2d^4}+\frac{x^2}{d^2}+\frac{1}{2} \)

\( \displaystyle f(5)=-\frac{x^5}{4d^5}+\frac{5x}{4d} \)

\( \displaystyle f(6)=-\frac{3x^4}{4d^4}+\frac{3x^2}{2d^2}+\frac{1}{4} \)


7.請問\( 0.9<0.\overline{9}<1 \)嗎?並請說明。
[提示]
我們教出的學生說\( 2.\overline{9} < 3 \)
http://www.google.com/search?cli ... a&ie=utf-8&oe=utf-8

8.(2)設n為大於1的自然數,證明\( \displaystyle (n!)^3<n^n \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^{2n} \)
[解答]
\( \displaystyle n!< \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^n \)
(98南港高工)
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=342782


\( \displaystyle n!< \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^n \)

\( \displaystyle n!< \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^n \)

\( \displaystyle n!<n^n \)

三式相乘


9.何謂「母體標準差」?何謂「樣本標準差」?請問你如何向學生說明「母體標準差」與「樣本標準差」這兩者公式為何不同?
[提示]
從標準差除以 n 或除以 n - 1 談起
https://math.pro/db/thread-398-1-3.html
http://www.google.com/search?cli ... a&ie=utf-8&oe=utf-8

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-6-26 11:16 PM 編輯 ]

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請問第 3 ,4,5,8之(1) 應如何做,謝謝。

請問第 3 ,4,5,8之(1) 應如何做,感謝各位高手幫忙。

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引用:
原帖由 Jacob 於 2010-6-18 08:57 PM 發表
請問第 3 ,4,5,8之(1) 應如何做,感謝各位高手幫忙。
8之(1)是n維空間的三角不等式

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第 1,3,4 題,見 thepiano 老師所解的 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3950#p3950



第 5 題

題目:設 \(\alpha,\beta,\gamma\) 為三個相異的複數,\(\omega\) 是 \(1\) 的立方根,若 \(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma=0\),試問在複數平面上表示 \(\alpha,\beta,\gamma\) 的三點成什麼圖形?


解答:

因為 \(1=-\omega-\omega^2\)

所以 \(\displaystyle\omega^2\left(\gamma-\alpha\right)= -\omega\left(\beta-\alpha\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow\left(\gamma-\alpha\right) = -\frac{1}{\omega}\left(\beta-\alpha\right)\)

      \(\displaystyle= \left(-\cos\left(-120^\circ\right) - i \sin\left(-120^\circ\right)\right)\left(\beta-\alpha\right)\)

      \(\displaystyle= \left(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ\right)\left(\beta-\alpha\right)\)


若將 \(\alpha, \beta, \gamma\) 都平移到以 \(\alpha\) 為新原點,

則平移後之 \(\beta\) 點坐標與 \(\gamma\) 點坐標,剛好是以新原點為圓心旋轉 \(60^\circ\) 之關係,

故, \(\alpha,\beta,\gamma\) 三點形成的圖形為正三角形。

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感謝 瑋岳老師的講解

感謝 瑋岳老師的講解

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回復 5# weiye 的帖子

為何有些字看不到呢?
請問要如何處理?

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回復 7# moemiau 的帖子

jsMath 是透過 JavaScript 在執行的,

也就是不同的電腦、瀏覽器,

可能顯示效果與速度都會有些微差異,

你可以試試看猶如 https://math.pro/db/announcement.php?id=2 所寫,

安裝 TeX 字型,或許會有更好的顯示效果。

(雖然我在家裡沒有安裝 TeX 字型的電腦顯示效果也很好。)

或是改試用不同的瀏覽器看看,如 FireFox or Chrome.

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引用:
原帖由 weiye 於 2010-6-26 01:24 PM 發表
第 1,3,4 題,見 thepiano 老師所解的 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3950#p3950



第 5 題

題目:設 \(\alpha,\beta,\gamma\) 為三個相異的複數,\(\omega\) 是 \(1\) 的立方根,若 \(\alpha+\omega\) ...
唉,第五題
五天前我在知識+回答了,可是晾到今天人家還是不懂~~~
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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請問有考的老師知道幾分通過初試嗎?
感謝

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