發新話題
打印

滿足abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)的三角形必然是正三角形嗎?

滿足abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)的三角形必然是正三角形嗎?

a,b,c是某三角形的三邊長,且abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c),則該三角形必然是正三角形嗎?
(正三角形顯然滿足這個等式,但滿足這個等式者必然是正三角形嗎?)

TOP

令\(A=b+c-a,B=a+c-b,C=a+b-c\)
則原式可以改寫成以下等式

\(\displaystyle \frac{(A+B)(B+C)(C+A)}{8}=ABC\)
由算幾不等式得知\(\displaystyle \frac{A+B}{2}\geq \sqrt{AB}\)
同理: \(\displaystyle \frac{B+C}{2}\geq \sqrt{BC}\) , \(\displaystyle \frac{C+A}{2}\geq \sqrt{CA}\)
三式相乘即得\(\displaystyle \frac{(A+B)(B+C)(C+A)}{8} \geq ABC\)
等號成立在\(A=B=C\)之時,進一步還原得\(a=b=c\)

所以\(a,b,c\)若滿足題目等式,則必為正三角形

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-9-27 21:24 編輯 ]

TOP

回復 2# satsuki931000 的帖子

謝謝!這個方法比我預想的方法還漂亮。
題目的等式是我由正三角形的某個充分必要條件推出的,所以逆推回去可以知道滿足該等式者必為正三角形。

TOP

引用:
原帖由 克勞棣 於 2021-9-27 22:54 發表
謝謝!這個方法比我預想的方法還漂亮。
題目的等式是我由正三角形的某個充分必要條件推出的,所以逆推回去可以知道滿足該等式者必為正三角形。
想請問是哪個充分必要條件

TOP

回復 4# satsuki931000 的帖子

「外接圓半徑=2*內切圓半徑」

設R是此三角形的外接圓半徑,r是內切圓半徑,s是半周長,A是面積,則
A=abc/(4R) → 左式=4RA
A=√(s(s-a)(s-b)(s-c)) → 右式=8A^2/s
因此4RA=8A^2/s → R=2A/s=2(rs)/s=2r
根據歐拉定理「R≧2r,等號成立於三角形是正三角形時」,知其為正三角形

TOP

發新話題