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2014APMO初試試題分享

nianzu

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1^# 大中小發表於 2013-12-9 09:48 只看該作者

2014APMO初試試題分享

大家一起想想!!

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2014APMO初選考試(解答).pdf (142.32 KB): 2013-12-9 09:48, 下載次數: 8488

永無止境的追尋

玩弄數學而不是被數學玩弄

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nianzu

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2^# 大中小發表於 2013-12-9 14:28 只看該作者

想請教第五題

永無止境的追尋

玩弄數學而不是被數學玩弄

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thepiano

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3^# 大中小發表於 2013-12-9 15:14 只看該作者

第 5 題
易知 a_10 - a_1 ≧ 45

(1) a_10 = 46
1 種

(2) a_10 = 47
H(10，1) 種

(3) a_10 = 48
H(10，2) 種

(4) a_10 = 49
H(10，3) 種

(5) a_10 = 50
H(10，4) 種

共 1001 種

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weiye

瑋岳

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4^# 大中小發表於 2013-12-9 17:06 只看該作者

回復 2# nianzu 的帖子

第五題另解，

把 a1

a2

a10 由左至右依序排列，

把 40 個相同球放入 a1

a2

a10 所區隔開來的 11 個區域之中，

且 ai 與 ai+1 之間至少要放入 i−1 個球，

因此先在 ai 與 ai+1 之間先放入 i−1 個球（

i=2

3

9），

剩下 40−

1+2+

+8

=4 個球放入 11 的區域的方法有 H411=1001 種。

對於每一種將 40 個球與 a1

a2

a10 排成一直線的方法，

由左至右看 ai 排在第幾個位置，就對應到 ai 的值是多少。

多喝水。

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nianzu

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5^# 大中小發表於 2013-12-10 07:55 只看該作者

感謝老師講解
可以在問一下第6和第7題嗎!!
感激不盡~~

永無止境的追尋

玩弄數學而不是被數學玩弄

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weiye

瑋岳

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6^# 大中小發表於 2013-12-10 13:22 只看該作者

回復 5# nianzu 的帖子

第六題：

所有環排數＝3232!=31!

在所有環排情況中，相鄰兩人是一男一女的牽手總數＝

C115C117

2!

30!

所求期望值＝平均每一環排當中相鄰兩人是一男一女的牽手數＝31!

C115C117

2!

30!=31510

ps.　另外還可以知道下列的訊息：

　　所有環排中，相鄰兩人是兩男的牽手總數＝

C215

2!

30!

　　所有環排中，相鄰兩人是兩女的牽手總數＝

C217

2!

30!

　　所有環排的牽手總數＝（所有環排中，相鄰兩人是一男一女的牽手總數）＋（所有環排中，相鄰兩人是兩男的牽手總數）＋（所有環排中，相鄰兩人是兩女的牽手總數）

　　即 31!

32=

C115C117

2!

30!+

C215

2!

30!+

C217

2!

30!

多喝水。

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thepiano

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7^# 大中小發表於 2013-12-10 14:18 只看該作者

第 7 題
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc + (a + b + c)[(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca)] = 3abc + 9(ab + bc + ca) - 27
(a + 3)(b + 3)(c + 3) = abc + 3(ab + bc + ca) + 9(a + b + c) + 27 = abc + 3(ab + bc + ca)

a^3 + b^3 + c^3 - 20(a + 3)(b + 3)(c + 3) = 2013
3abc + 9(ab + bc + ca) - 27 - 20[abc + 3(ab + bc + ca)] = 2013
-17abc - 51(ab + bc + ca) = 2040
abc + 3(ab + bc + ca) = -120

a、b、c 中，必最少有一個 3 的倍數

先令 b = 0
a + c = -3
ac = -40

a = -8，c = 5

a = -8，b = 0，c = 5

其他解可從以下式子考慮
(a + 3)(b + 3)(c + 3) = -120
a + b + c = -3
可找到　a = -9，b = -1，c = 7

此題的 (a，b，c) 僅有兩組解

[ 本帖最後由 thepiano 於 2013-12-10 02:55 PM 編輯 ]