108竹北高中代理

請問版上老師第七題,請問要怎模做阿

7.若水中有一半徑為3 公分的球，其中浮出水面1 公分，求此球在水面上的體積為____________ 立方公分.

\(\int_{2}^{3}(9-x^{2})\pi dx=(9x-\frac{1}{3}x^{3})\pi|^{3}_{2}=\frac{8}{3}\pi\)

收到，謝謝老師的回覆。

請問計算5怎麼做？

計算第5題
已知斜三稜柱\(ABC-A_1B_1C_1\)的各稜長均為2，測稜\(BB_1\)與底面\(ABC\)所成角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)，且側面\(ABB_1A_1⊥\)底面\(ABC\).
(1)證明：點\(B_1\)在平面\(ABC\)上的投影點\(O\)為\(AB\)的中點.
(2)求點\(C_1\)到平面\(CB_1A\)的距離.
[證明]
(1) 面\(AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}\)垂直面\(ABC\)，\({{B}_{1}}\)在面\(ABC\)上的投影點\(O\)在\(\overline{AB}\)上
\(\angle {{B}_{1}}BO={{60}^{\circ }},\overline{{{B}_{1}}B}=2,\overline{BO}=1\)，\(O\)為\(\overline{AB}\)中點

(2) 四面體\({{C}_{1}}-C{{B}_{1}}A\)、\(B-C{{B}_{1}}A\)、\(A-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)的體積均為斜三稜柱的\(\frac{1}{3}\)
設\({{C}_{1}}\)到面\(C{{B}_{1}}A\)的距離為\(h\)
\(\begin{align}
  & \overline{AC}=2,\overline{A{{B}_{1}}}=\overline{B{{B}_{1}}}=2,\overline{C{{B}_{1}}}=\sqrt{{{\overline{O{{B}_{1}}}}^{2}}+{{\overline{OC}}^{2}}}=\sqrt{3+3}=\sqrt{6} \\
& \Delta C{{B}_{1}}A=\frac{\sqrt{15}}{2} \\
& \frac{\sqrt{15}}{2}\times h\times \frac{1}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times {{2}^{2}}\times \sqrt{3}\times \frac{1}{3} \\
& h=\frac{2}{5}\sqrt{15} \\
\end{align}\)

另解:

感謝兩位老師的解答，
因為忘了密碼，也忘了安全提問是什麼，
拖到現在才來~~謝謝老師

想請問各位老師
計算四的（2）如何證明是等差較好

計算第4題
4.
已知數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)，滿足\(\cases{a_1=1 \cr a_{n+1}=2a_n+1,(n \in N)}\)；
(1)求數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)的一般式.
(2)若數列\(\langle\;b_n \rangle\;\)滿足\(4^{b_1-1}\cdot 4^{b_2-1}\cdot 4^{b_3-1}\cdot \ldots \cdot 4^{b_n-1}=(a_n+1)^{b_n}\)，試證數列\(\langle\;b_n \rangle\;\)為等差數列.
[解答]
\(\begin{align}
  & {{a}_{n}}={{2}^{n}}-1 \\
& {{4}^{{{b}_{1}}-1}}={{\left( {{a}_{1}}+1 \right)}^{{{b}_{1}}}}={{2}^{{{b}_{1}}}} \\
& {{b}_{1}}=2 \\
& {{4}^{{{b}_{1}}-1}}\times {{4}^{{{b}_{2}}-1}}\times {{4}^{{{b}_{3}}-1}}\times \cdots \cdots \times {{4}^{{{b}_{n}}-1}}={{\left( {{a}_{n}}+1 \right)}^{{{b}_{n}}}} \\
& {{2}^{2\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+\cdots \cdots +{{b}_{n}}-n \right)}}={{2}^{n{{b}_{n}}}} \\
& 2\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+\cdots \cdots +{{b}_{n}}-n \right)=n{{b}_{n}} \\
& {{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+\cdots \cdots +{{b}_{n}}=\frac{n{{b}_{n}}+2n}{2}=\frac{n\left( {{b}_{1}}+{{b}_{n}} \right)}{2} \\
\end{align}\)

感謝鋼琴老師回應！解了我多日的苦惱