填充第 7 題
當某球通過 \(A,B\) 兩點且與 \(x\) 軸相切於 \(P\) 點，且球半徑為最小時，
\(∠APB\) 會有最大值。
（很抱歉，我實在是不太會畫立體圖～＝＝
只好請您在腦海中想像一下～）
設此時 \(P(a,0,0)\)
因為球心必在 \(A,B\) 的垂直平分面 \(3y-\sqrt{3} z = 0\) 上，
設球心 \(Q(a, b, \sqrt{3} b)\)
由 \(\overline{QA}=\overline{QP}\)
\(\Rightarrow (a-1)^2 + (b-2)^2 +(\sqrt{3}b)^2 = b^2+(\sqrt{3}b)^2=\mbox{半徑的平方}\)
可得 \(4b=a^2-2a+5\)
當半徑有最小值時，\(b\)有最小值，所以，\(a=1, b=1\)
可得
\(P(1,0,0)\)
PA向量 \(=(0,2,0)\)
PB向量 \(=(0,-1,\sqrt{3})\)
\(\displaystyle \cos \theta = \frac{\mbox{PA向量} \cdot \mbox{PB向量}}{\left|\mbox{PA向量}\right| \cdot\left|\mbox{PB向量}\right|}= \frac{-1}{2}\)
\(\theta= 120^\circ.\)
