bonnieicy你好,我是math pro版主bugmens
能否將同一份題目的問題在同一篇發問,除了方便以後網友搜尋之外,這樣知識也才能傳承下去
以這題來講,PTT的實習老師版網友ByronC,math pro站長weiye,選聘網神人thepiano都是給相同的反例
連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=27042
你也可以到thepiano所主持的美夢成真教甄討論區發問
http://www.shiner.idv.tw/teachers/index.php
我將於10/1刪除這篇討論
https://math.pro/db/thread-871-1-1.html
補充thepiano提到的高中數學競賽教程P544證明
第37講 函數方程
設f是定義在有理數集Q上的函數，解下列函數方程
(2) \( f(x)f(y)=f(x+y) \)(f不恆為零)。
用數學歸納法，易證：
\( f(x_1)f(x_2)…f(x_n)=f(x_1+x_1+…+x_n) \)
令\( x_1=x_2=...=x_n=x \)，得\( [f(x)]^n=f(nx) \)。
再令\( \displaystyle x=\frac{1}{m} \)，又得
\( \displaystyle f(\frac{n}{m})=[f(\frac{1}{m})]^n=[f(\frac{1}{m})^m]^{\frac{n}{m}}=[f(1)]^{\frac{n}{m}} \)。
記\( f(1)=c \)(c為正常數)，得\( \displaystyle f(\frac{n}{m})=c^{\frac{n}{m}} \)。
在原方程中令\( y=0 \)，由f(x)不恆為0，得\( f(0)=1=c^0 \)。
在原方程中令\( \displaystyle y=-x=-\frac{1}{m} \)，可推得\( \displaystyle f(-\frac{n}{m})=c^{-\frac{n}{m}} \)。
所以，對一切\( x \in Q \)，有\( f(x)=c^x \)。
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本帖最後由 bugmens 於 2009-9-28 09:02 PM 編輯 ]
