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求數學好手

求數學好手

是否存在整數\( a,b \)使得\( a^5b+3 \)與\( ab^5+3 \)皆為完全立方數。

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回復 1# 翁丞甫 的帖子

這是中山大學的雙週一題網路數學問題徵答,104.04.03 中午 12 點截止

要討論的等明天中午過後吧
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回復 1# 翁丞甫 的帖子

官方已公布參考解答
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2015s/2ans.pdf

其實小弟昨天也寫了個解答,要貼時剛好看到 寸絲 兄的提醒
今天看了官方的解答,比小弟寫的簡潔,所以就不獻醜了

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-4-3 05:24 PM 編輯 ]

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為啥是mod9,有人可以說明嗎?(同餘好神!!)

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個人淺見如下:

基於經驗,這類題目常用同餘分析法解題,關鍵是"模"的選取。

首先計畫以某正整數為模,將所有整數分類,並依此分類考察完全立方數對於某個"模"(不一定是前述分類用的模)的餘數情形。

由於 ( a + b )³ 的展開式係數依序是 (1,3,3,1),配合這個係數,自然想到用 "3" 來將整數分類,以得出較有用(較強)的結果:

先將整數分類為 3k, 3k ± 1,將之立方:

(3k)³ = 3³k³

(3k ± 1)³ = (3³k³ ± 3³k² + 3²k ± 1)

綜合以上兩式知,完全立方數除以 9 的餘數只能是 0, 1, -1。當然也能說完全立方數除以 3 的餘數只能是 0, 1, -1,但原則上用較強的結論對往後的推理較佳 (以 9 為模是本分類的最強結論)。

注意到以上之所以得到比"以3為模"更強的結果是因考察了(1,3,3,1) 這個係數。作為對比,如果以 2 為模的話:

(2k)³ = 2³k³

(2k + 1)³ = (2³k³ + 3*2²k² + 3*2k + 1)

由於 "2" 跟係數不配合,似乎就得不到有用的結果了。


然而在以下題目則不然:

試證數列 11, 111, 1111, ..., 中的每一個數都不是完全平方數(中山雙週91學年度第一學期第二題)。

由於 ( a + b )² 的展開式係數依序是 (1,2,1),配合這個係數,用 "2" 來將整數分類就很適當了。

[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-4-4 11:02 PM 編輯 ]

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