一、填充題
1.
曲線\(\Omega = \{(x,y) \mid \log(y-6)+\log(y-4)-\log(x^{2}+8)=0\}\)及圓\(C=\{(x,y)\mid x^{2}+(y-3)^{2}=4\}\)，已知\(P(x,y)\)為\(\Omega\)上的動點，\(Q\)為\(C\)上的動點，則\(\overline{PQ}\)最短距離為 。
2.
直角坐標平面上的線性變換\(f\)滿足下列條件：
(1)存在兩個非零且不平行的向量\(\vec{u}\)及\(\vec{v}\)，使得\((f \circ f)(\vec{u})=f(\vec{v})\)及 \((f \circ f)(\vec{v})=f(\vec{u})\)。
(2)\(f\)將點\((1,1)\)映射到點\((1,0)\)。
試求所有\(f\)可能對應的矩陣之和為 。
3.
令\(\displaystyle a=\frac{10^{15000}}{10^{100}+3}\)，求\(a\)的整數部分為 。（數字太大可用指數表示）。
4.
黑箱中有7枚均勻的硬幣，其中1枚兩面都是人頭，1枚兩面都是字，其餘5枚一面是人頭一面是字。將兩手同時伸入箱中分別握住1枚硬幣，取出後先打開右手，發現該枚硬幣朝上的一面是人頭，則左手攤開後該枚硬幣朝上的一面也是人頭的機率為 。
5.
空間中一個三角柱，包含五個面的平面方程式分別為\(x+y+z=5\)、\(x+y+z=11\)、\(x-2y+z=3\)、\(x-z=5\) 及 \(x-y=2\)，則此三角柱的體積為 。
6.
正\(\triangle ABC\)邊長為 3，\(D\)為\(\overline{AB}\) 上一動點，做\(A\)、\(C\)、\(D\)的外接圓 \(\Gamma_{1}\)交\(\overline{BC}\)於\(E\)，做\(B\)、\(D\)、\(E\)的外接圓\(\Gamma_{2}\)，則兩圓面積和的最小值為 。
7.
函數\(f(x)\)之定義域為自然數，假設\(f(n)=\begin{cases} n-3, & \text{當 } n \ge 1000 \\ f(f(n+7)), & \text{當 } n<1000 \end{cases}\)，求\(f(90)=\) 。
8.
將4個相同的球放入10個排成一列的相異箱子中。規定任意兩個球不可放在相鄰的箱子，且第一個箱子與最後一個箱子不可同時放球(即首尾不相鄰)，則共有 種不同的放法。
9.
設\(n\)為正整數且\(n \le 2026\)。若\(n^2+8n-1\)能被13整除，則滿足條件的\(n\)共有 個。
10.
設\(f(x)=x^{2026}+ax^{100}+b\)為實係數多項式。若\(f(x)\)能被\(x^{2}-x+1\)整除，則數對\((a,b)=\) 。
11.
設\(f(n)=\lfloor \log_{2}n \rfloor\)，其中\(\lfloor x \rfloor\)表示小於或等於\(x\)的最大整數。求級數和\(\displaystyle\sum_{n=1}^{2026}f(n)=\) 。
12.
設\(\omega = e^{\displaystyle\frac{2\pi i}{7}}\)為1的七次方根且\(\omega \ne 1\)。求\(\displaystyle\frac{1}{1+\omega}+\frac{1}{1+\omega^2}+\frac{1}{1+\omega^3}+\frac{1}{1+\omega^4}+\frac{1}{1+\omega^5}+\frac{1}{1+\omega^6}=\)
13.
設實函數\(f(x)=\displaystyle\frac{x}{\ln x}\)(其中 \(x>1\))，則\(f(x)\)的最小值為 。
14.
設區域\(R\)是由曲線\(y=\sin x\)(\(0 \le x \le \pi\))與\(x\)軸所圍成的封閉區域。若將區域\(R\)繞\(y\)軸旋轉一週，則所得旋轉體的體積為 。
二、計算題
1.
假設\(p_i\)，\(q_i\)，\(r_i \in \mathbb{R}^+\)，\(i = 1, 2, \dots, n\)，同時滿足 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}p_{i}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}q_{i}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}r_{i}\)，請證明：\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{p_{i}^2}{p_{i}+q_{i}+r_{i}} \ge \frac{1}{3}\sum_{i=1}^{n}p_{i}\)。
2.
\(a_{1},\dots, a_{n}\)為方程式\(x^n+x+1=0\)的\(n\)個根，請證明：\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_{i}^{n-1}-a_{i}^{n})=1\)
3.
\(f(z)\)為一\(n\)次複數係數多項式且符合下列條件：
(1)\(z^{2}-1\)可以整除\(f(z)\)。
(2)\(f(z)=0\)所有根的乘積為1。
試證明\(f(z)\)可以整除\(f \circ f \circ f(z)\)。
4.
設數列\(\langle a_{n} \rangle\)滿足\(a_{1}=1\)，且對所有正整數\(n\)，滿足遞迴關係式：\(\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\)。試利用數學歸納法證明：對所有正整數 \(n\)，\(a_{n} \ge \sqrt{2n-1}\)恆成立。
5.
設\(\triangle ABC\)為銳角三角形，其外接圓圓心為\(O\)，垂心為\(H\)，令\(M\)為\(\overline{BC}\)邊的中點。延長直徑\(\overline{AO}\)交外接圓於點\(E\)。證明：四邊形\(HBEC\)為平行四邊形。
6.
證明：對所有大於或等於2的正整數\(n\)，不等式\(\displaystyle\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\dots+\frac{1}{n^{2}}<1-\frac{1}{n}\)恆成立。
