一、填充題
1.
擲一顆均勻骰子三次，觀察其出現的點數依次為\(a\)、\(b\)、\(c\)，求點數\(a\)、\(b\)、\(c\)中最大點數是奇數之機率為
。
2.
設二階方陣\(A\)滿足\(A\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},A^2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\)，其中\(I\)為二階單位方陣，試求\(A\)的乘法反方陣\(A^{-1}=\)
。
3.
一袋裝有大小相同的6顆紅球及若干顆白球，每球被取出的機會均等，連續自袋中取球\(n\)次，每次取一球觀察其顏色後放回。假設每次取球的結果互相獨立，若已知取得紅球次數的期望值為6次，標準差為2次，試求\(n=\)
。
4.
學校舉辦高二的象棋比賽，由於高二參加此比賽的學生人數少於10人，因此有兩位高一學生被允許參加比賽。若每位參賽選手都必須與其他選手各比賽一次，且勝者得1分，和者得\(0.5\)分，敗者得0分。已知兩位高一學生得分總和為8分，且知每位高二的學生皆與其同年級同學的得分相同，則高二參加此比賽的學生人數為
人。
5.
\(\Delta ABC\)的三邊長分別為\(\overline{AB}=4\)、\(\overline{BC}=5\)、\(\overline{CA}=6\)，設\(\overline{AB}\)邊上的中垂線與\(\overline{AC}\)邊上的高相交於\(P\)點，且令\(\vec{AP}=x\vec{AB}+y\vec{AC}\)，試求實數對\((x,y)=\)
。
6.
已知點\(A\)、\(P\)在直線\(L_1\)：\(\displaystyle\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{3}\)上；點\(B\)、\(Q\)在直線\(L_2\)：\(\displaystyle\frac{x}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{2}\)上，若\(\overline{PQ}\)恰為直線\(L_1\)與\(L_2\)的公垂線段，且\(\overline{AP}=3\)，\(\overline{BQ}=4\)，試求向量內積\(\vec{PQ}\cdot\vec{AB}=\)
。
7.
設多項式\(f(x)=x^3+x^2-4x+k\)，\(g(x)=x^2+ax+2\)，其中\(a,k\)皆為實數。已知\(g(x)\)整除\(f(x)\)，且方程式\(g(x)=0\)有虛根，試求方程式\(f(x)=0\)的解為
。
8.
求極限\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\frac{n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+\dots+(3n-1)^2}{n^3}\right]=\)
。
9.
設一個小於1的正有理數\(q\)將其表示成最簡分數為\(\displaystyle\frac{b}{a}\)，若已知其分子與分母的乘積\(a\times b=30!\)，其中\(30!=30\times29\times28\times\ldots\times2\times1\)，試求滿足此關係的正有理數\(q\)共有
個。
10.
設\(x^{2026}\)除以\((x-1)^2(x^2+1)\)的餘式\(r(x)\)，求\(r(0)=\)
。
11.
已知\((\log y)^2+(2^{1+x}+2^{1-x})\log y+(2^{1+2x}+2^{1-2x})=0\)，求\(x+y=\)
。
12.
已知空間中三點\(\displaystyle A(\frac{9}{2},2,-\frac{1}{2})\)、\(B(2,1,0)\)、\(C(1,0,-1)\)，求\(\Delta ABC\)的垂心坐標為
。
13.
坐標平面上，設\(A\)點為曲線\(\Gamma_1\)：\(x^2-4x+y+5=0\)上的一點，且\(B\)點為曲線\(\Gamma_2\)：\(y^2-4y+x+5=0\)上的一點，試求\(A\)、\(B\)兩點的最小距離為
。
14.
複數平面上，求滿足\(|z-3+i|-|z+1-3i|=\pm2\sqrt{2}\)的所有複數\(z\)所形成的圖形之漸近線斜率為
。
15.
設\(f(x)\)為三次多項式函數，且滿足以下條件：
(1)一階導函數\(f'(x)\)存在最小值\(-12\)。 (2)\(f(x)\)的極大值發生在\(x=5\)。 (3)二階導數\(f''(5)=-2\)。 (4)\(f(x)\)的極小值為2。
求此三次函數\(f(x)\)的反曲點坐標為
。
16.
已知一個籤筒內有\(N\)支籤，分別標示1至\(N\)的號碼，且每支籤被抽到的機率相等。現從此籤筒中任意抽出一支籤，並觀察其號碼。設\(A\)事件為所抽到之籤的號碼為偶數之事件；\(B\)事件為所抽到之籤的號碼為3的倍數之事件。請問在\(N\)分別為3至2026的這些正整數中，有
個\(N\)，會使得事件\(A\)與事件\(B\)為獨立事件。
二、計算題
1.
求滿足方程式\(\displaystyle\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{13}\)的所有整數解。
試求方程式\( \displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7} \)的所有整數解\( (x,y) \)。
(95基隆高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=865&page=1#pid1730)
2.
設三次函數\(f(x)=x^3-x\)的函數圖形為\(\Gamma\)，若在\(\Gamma\)上取一點\(A(a,f(a))\)對\(\Gamma\)做切線\(L_1\)交\(\Gamma\)於\(A_1(x_1,y_1)\)，其中\(x_1\ne a\)且\(a\ne 0\)；若再過\(A_1(x_1,y_1)\)對\(\Gamma\)做切線\(L_2\) 交\(\Gamma\)於\(A_2(x_2,y_2)\)，\(x_2\ne x_1\)；過\(A_2\) 對\(\Gamma\)做切線\(L_3\)交\(\Gamma\)於\(A_3(x_3,y_3)\)，\(x_3\ne x_2\)；過\(A_3\)對\(\Gamma\)做切線\(L_4\)交\(\Gamma\)於\(A_4(x_4,y_4)\)，\(x_4\ne x_3\)；\(\ldots\)；並以此方法不斷做下去，最後當由\(A_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})\)對\(\Gamma\)做切線\(L_n\)交\(\Gamma\)得到\(A_n(x_n,y_n)\)，其中\(x_n\ne x_{n-1}\)，且\(n\ge 2\)。請以\(a\)、\(n\)表示\(n_x\)的一般式。
3.
設方程式\(x^2-(1+4i)x-(9-7i)=0\)的兩根為\(x_1\)及\(x_2\)，其中\(|x_1|\ge|x_2|\)，若複數\(z\)可使得\(\displaystyle\frac{x_1}{x_2}\cdot z\)為實數，試求滿足此條件之複數\(z\)的主幅角\(Arg(z)\)。(如非特殊角，請使用反三角函數表示答案)
4.
請利用\((1+x)^{11}=1+C_1^{11}x+C_2^{11}x^2+\dots+C_{10}^{11}x^{10}+x^{11}=11\cdot Q(x)+x^{11}+1\)，求組合數\(C_{25}^{115}\)除以11的餘數。
5.
設\(\Delta ABC\)的三邊長\(\overline{AB}=5\)，\(\overline{AC}=7\)，\(\overline{BC}=8\)，若自點\(B\)、\(C\)分別作\(\overline{BP}\perp \overline{AC}\)於\(P\)，\(\overline{CQ}\perp \overline{AB}\)於\(Q\)，試求線段長\(\overline{PQ}\)。
6.
坐標平面上，已知兩向量\(\vec{a}=(3,4)\)，\(\vec{b}=(2,-1)\)，若向量\(\vec{c}\)在向量\(\vec{a}\)上的正射影為\(\displaystyle(-\frac{6}{25},-\frac{8}{25})\)，試求長度\(|\vec{b}-\vec{c}|\)的最小值。
7.
如圖所示，已知上半圓\(C\)：\((x-2)^2+y^2=1\)，\(y\ge0\)，直徑\(AB\)在\(x\)軸上，圓心\(I\)，設點\(D\)為此半圓周上一點，且\(\angle AID=60^\circ\)，點\(E\)為此半圓周上任一點，試求\(\overline{EA}+\overline{EB}+\overline{ED}\)的最大值。
8.
已知函數\(y=f(x)=x^4-2x^2+x\)，試回答下列各問題：
(1)設與曲線\(y=f(x)\)恰有2個切點的直線為\(y=g(x)\)，求\(g(x)\)。
(2)承(1)，求兩函數\(y=f(x)\)與\(y=g(x)\)的圖形所圍出之封閉區域的面積。
