單選題
(B)1.
\(41^{48}\)除以100的餘數為下列何者？
(A)11 (B)21 (C)41 (D)81
(A)2.
已知\(a,b,c\)為互質的正整數，如果\(a\log_{200}2+b\log_{200}5=c\)，則\(a+b+c=\)?
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
(B)3.
已知函數\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2-2x+1}+\sqrt[3]{x^2-1}+\sqrt[3]{x^2+2x+1}}\)，則\(f(1)+f(2)+f(3)+\dots+f(999)\)之值為下列何者？
(A)\(\displaystyle\frac{3+\sqrt[3]{37}}{2}\) (B)\(\displaystyle\frac{3}{2}(3+\sqrt[3]{37})\) (C)\(\displaystyle5+\frac{3\sqrt[3]{37}}{2}\) (D)\(9+3\sqrt[3]{37}\)
設數列\( a_n=\root 3 \of {n^2+2n+1}+\root 3 \of {n^2-1}+\root 3 \of {n^2-2n+1} \)，\( \displaystyle S_{n+1}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+\ldots+\frac{1}{a_{2n+1}} \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\root 3 \of n^2}\left( \frac{1}{S_{n+1}}+\frac{1}{S_{n+2}}+\frac{1}{S_{n+3}}+\ldots+\frac{1}{S_{2n}} \right) \)。
(104台中女中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2208&page=1#pid12872)
(C)4.
已知\(\{a_n\}\)為等差數列，且\(\{b_n\}\)為等比數列，其中正整數\(n=1,2,3,\dots\)，如果\(a_1b_1=20,a_2b_2=19,a_3b_3=14\)，則\(a_4b_4\)之最大的可能值為下列何者？
(A)\(\displaystyle\frac{35}{4}\) (B)9 (C)\(\displaystyle\frac{37}{4}\) (D)10
(C)5.
試求無窮級數\(\displaystyle1+2\times\left(\frac{1}{2026}\right)+3\times\left(\frac{1}{2026}\right)^2+4\times\left(\frac{1}{2026}\right)^3+5\times\left(\frac{1}{2026}\right)^4+\dots=\)?
(A)\(\displaystyle\left(\frac{2025}{2026}\right)^2\) (B)\(\displaystyle\left(\frac{2026}{2027}\right)^2\) (C)\(\displaystyle\left(\frac{2026}{2025}\right)^2\) (D)\(\displaystyle\left(\frac{2027}{2026}\right)^2\)
(D)6.
有一個十位數\(A\)，其數字由左至右分別為\(a_1\)、\(a_2\)、\(\dots\)、\(a_{10}\)，其中\(a_1=1\)，而\(a_2\)、\(a_3\)、\(\dots\)、\(a_{10}\)皆為0或1，且滿足\(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}\)，則滿足這樣條件的十位數\(A\)共有多少個數？
(A)63 (B)81 (C)102 (D)126
(B)7.
已知一函數\(f\)的定義域為所有正整數，如果\(f(1)=100\)，且對任意正整數\(n>1\)，滿足條件\(f(1)+f(2)+\dots+f(n)=n^2f(n)\)，則\(f(100)\)之值為下列何者？
(A)\(\displaystyle\frac{1}{101}\) (B)\(\displaystyle\frac{2}{101}\) (C)101 (D)202
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=4029&page=1#pid27591
(D)8.
在直角三角形\(ABC\)中，\(\angle C=90^\circ,\overline{AB}=c,\overline{BC}=a,\overline{CA}=b\)，令\(\displaystyle x=\frac{a}{c}\)且\(\displaystyle y=\frac{b}{c}\)且滿足\(13xy=15(x+y)-15\)，則\(x+y\)之值為下列何者？
(A)\(\displaystyle\frac{13}{15}\) (B)\(\displaystyle\frac{15}{17}\) (C)\(\displaystyle\frac{15}{13}\) (D)\(\displaystyle\frac{17}{13}\)
(A)9.
已知實數\(a,b\)滿足條件\(\displaystyle\frac{a+6}{b}+\frac{13}{ab}=\frac{4-b}{a}\)，則\(a+b\)之值為下列何者？
(A)\(-1\) (B)0 (C)1 (D)5
(C)10.
已知袋子裡紅球與白球的數目之比是\(19:13\)，如果另外再放入若干個紅球後，則紅球與白球的數目之比變為\(5:3\)；其次，又再放入若干個白球後，則紅球與白球的數目之比變為\(13:11\)。已知放入的紅球數比白球數少80個，那麼原來袋子裡共有多少個球？
(A)390 (B)570 (C)960 (D)1040
(A)11.
已知\(a\)、\(b\)、\(c\)皆為實數，如果\(\displaystyle\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)，則\(\displaystyle\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)之值為下列何者？
(A)0 (B)1 (C)4 (D)9
(B)12.
如圖，正方形\(ABCD\)中，其邊長為1，將每邊作\(n\)等分，其中\(n\)為正整數，且點\(E,F,G,H\)都是各邊上的等分點，使得\(\displaystyle\overline{BE}=\overline{CF}=\overline{DG}=\overline{AH}=\frac{1}{n}\)；再分別作\(\overline{AF},\overline{CH},\overline{BG},\overline{DE}\)，此四線段分別交於\(P,Q,R,S\)四點。如果四邊形\(PQRS\)的面積為\(\displaystyle\frac{1}{421}\)，則\(n\)值為下列何者？
(A)14 (B)15 (C)16 (D)17
A small square is constructed inside a square of area 1 by dividing each side of the unit square into \(n\) equal parts, and then connecting the vertices to the division points closest to the opposite vertices. Find the value of \(n\) if the the area of the small square is exactly \(\displaystyle\frac1{1985}\).
(1985AIME，連結有解答
https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_4)
(A)13.
設\(a,b,c,d\)都是正實數，已知三數\(\sqrt{a^2+c^2+d^2+2cd},\sqrt{b^2+c^2},\sqrt{a^2+b^2+d^2+2ab}\)可構成一個三角形的三邊長，則此三角形的面積為下列何者？
(A)\(\displaystyle\frac{1}{2}(ac+bc+bd)\) (B)\(\displaystyle\frac{1}{2}(ab+bc+cd)\) (C)\(\displaystyle\frac{1}{2}(ac+bc+ad)\) (D)\(\displaystyle\frac{1}{2}(ad+bc+cd)\)
已知\(a,b,c,d\)均為正數，試證：存在一個三邊長為\( \sqrt{b^2+c^2} \)、\( \sqrt{a^2+c^2+d^2+2ac} \)、\( \sqrt{a^2+b^2+d^2+2bd} \)為三邊長的三角形，並求此三角形之面積？
(建中通訊解題第115期)
(我的教甄準備之路 三角形的面積，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)
(D)14.
已知有三個正方形面積分別為13,29和34，今將此三個正方形拼放在一起（圖形不可重疊，只有頂點重合），中間恰好圍成一個\(\triangle ABC\)，則此\(\triangle ABC\)的面積為下列何者？
(A)\(\displaystyle\frac{13}{2}\) (B)\(\displaystyle\frac{15}{2}\) (C)\(\displaystyle\frac{17}{2}\) (D)\(\displaystyle\frac{19}{2}\)
(A)15.
設\(f(x)\)為實係數四次多項式且其領導係數為1，如果\(f(1)=-1,f(-2)=-4,f(3)=-9,f(-4)=-16\)，則\(f(2)\)之值為下列何者？
(A)\(-28\) (B)\(-20\) (C)4 (D)20
(A)16.
化簡\(\sqrt{64+32\sqrt{3}}-\sqrt{97+56\sqrt{3}}\)之值為下列何者？
(A)\(-3\) (B)\(-4\) (C)\(-5\) (D)\(-6\)
(C)17.
試問方程式\(\displaystyle\log_2\log_4x+\log_4\log_2x=\frac{1}{2}\)之實數解x為下列何者？
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
(D)18.
已知\(a,b,c,d\)為四個實數，如果\(a=2b+c,b=2c+d,2c=d+a+1,d=a-c\)，則下列何者正確？
(A)\(\displaystyle b=\frac{1}{9}\) (B)\(\displaystyle b=\frac{2}{9}\) (C)\(\displaystyle b=-\frac{1}{9}\) (D)\(\displaystyle b=-\frac{2}{9}\)
(B)19.
已知一數列\(\{a_n\}\)滿足下列條件：\(\displaystyle a_1=\sqrt[3]{3},a_2=(\sqrt[3]{3})^{\sqrt[3]{3}},a_n=(a_{n-1})^{\sqrt[3]{3}}\)，其中正整數\(n>1\)，則\(a_n\)為正整數時的最小正整數\(n\)為下列何者？
(A)3 (B)4 (C)9 (D)27
(D)20.
如圖，\(\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，且正方形\(DGEF\)內接於\(\triangle ABC\)內，使得\(D\)、\(G\)分別在\(\overline{AC},\overline{BC}\)上，以及\(E\)、\(F\)在\(\overline{AB}\)上，則下列何者成立？
(A)\(\overline{AB}\le2\overline{EF}\) (B)\(\overline{AB}\ge2\overline{EF}\) (C)\(\overline{AB}\le3\overline{EF}\) (D)\(\overline{AB}\ge3\overline{EF}\)
(A)21.
設\(a\)為實數，如果\(\displaystyle A=\left(\frac{\sqrt{|a|-3}+\sqrt{3-|a|}}{3-a}+\frac{2a}{1+a}\right)^{200}\)，則\(A\)的個位數字為下列何者？
(A)1 (B)3 (C)7 (D)9
(B)22.
已知\(a,b\)為二數，且滿足\(|a|+a+b=10\)及\(a+|b|-b=12\)，則\(a+b\)之值為下列何者？
(A)3 (B)\(\displaystyle\frac{18}{5}\) (C)4 (D)\(\displaystyle\frac{19}{5}\)
(C)23.
有一組數據：\(2,4,6,a,7,9\)的算術平均數為\(b\)，其中\(a\)為正整數且\(b>0\)。如果\(a,b\)為一元二次方程式\((x-3)^2=x-1\)的二個解，則此組數據的中位數為下列何者？
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
(C)24.
已知二個正整數\(a,b\)的最大公因數是\(c\)，最小公倍數是\(d\)，其中\(c\ne1,c\ne a\)，且\(c\ne b\)。如果\(c+d=187\)，則\(a+b\)之值為下列何者？
(A)77 (B)110 (C)119 (D)121
(B)25.
設\(a,b\)為正數，如果方程式\(x^2+ax+2b=0\)與\(x^2+2bx+a=0\)的解都是實數，試問滿足上述條件的\(a+b\)之最小值為下列何者？
(A)4 (B)6 (C)8 (D)10
