1.
已知曲線\(\Gamma\)：\(\displaystyle y=\frac{x^3}{3}-ax\)，其中\(a>0\)，過原點作曲線\(\Gamma\)的切線\(L\)，過原點與切線\(L\)垂直的直線為\(M\)。求直線\(M\)與曲線\(\Gamma\)所圍的區域面積最小值。
2.
在空間中，將點\(p(x_0,y_0,z_0)\)投影至平面\(x+y+z=0\)的正投影矩陣為\(M\)，試求矩陣\(M\)。
3.
\(ABCD\)為圓內接四邊形，\(\overline{AB}=1,\overline{BC}=7,\overline{CD}=5,\overline{DA}=5\)，\(\vec{AC}=\alpha\vec{AB}+\beta\vec{AD}\)，求數對\((\alpha,\beta)\)。
4.
設資料\(X=(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4)\)，當\(i=1、2、3、4\)時，資料\(Y_i=((-4)^i,(-3)^i,(-2)^i,(-1)^i,0^i,1^i,2^i,3^i,4^i)\)。令\(r_i\)代表資料\(X\)和資料\(Y_i\)的相關係數，\(i=1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)。請寫出\(r_1\)、\(r_2\)、\(r_3\)與\(r_4\)的大小關係（例如\(r_1<r_2=r_3<r_4\)或\(r_4<r_3<r_2<r_1\)）。
5.
已知\(|\log_3x|=ax+b\)之三個相異實根，由小而大依次成為公比\(r=3\)之等比數列，則其解為何？（三解，以\(k^m\)的形式表示）
6.
\(\triangle ABC\)中，\(\displaystyle\angle A=\frac{\pi}{8},\angle C=\frac{\pi}{4},\overline{AB}=8\)，求\(\triangle ABC\)面積為何？
7.
右圖是由\(\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\)所形成的平行六面體，若\(\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\)兩兩的夾角都是\(60^\circ\)，且\(\overline{AB}=\overline{AD}=\overline{AE}=3\)，點\(P\)在\(\overline{HG}\)上且\(\overline{PG}=2\overline{PH}\)，則\(\overline{AP}\)的長度為何？
8.
求\(\displaystyle \cot\frac{\pi}{24}\)的值為何？（化為最簡根式）
求\( \displaystyle cot \frac{\pi}{24} \)的值。
(100華江高中二招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1177&page=1#pid4085)
9.
假設位於第一象限的點\(P\)在\(\Gamma\)：\(x^2=4y\)的圖形上，點\(Q\)在正\(x\)軸上且滿足\(\overline{OP}=\overline{OQ}\)，直線\(PQ\)交\(y\)軸於\(R\)。當\(P\)沿曲線\(\Gamma\)趨近於原點時，點\(R\)的極限座標為何？
10.
設函數\(f\)：\(\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}\)，滿足\(\displaystyle f\left(1-\frac{1}{1+t}\right)+f\left(\frac{1+t}{t}\right)\log|1+t|=f\left(\frac{1+t}{t}\right)\log|t|+2026\)，求\(f(1000)\)的值為何？
11.
坐標平面上，\(x\)與\(y\)坐標均為整數的點為格子點。問在函數圖形\(y=\log_2x\)、\(x\)軸與直線\(x=20\)所圍有界區域的內部（不含邊界）共有多少個格子點？
12.
已知丟某枚銅板，其正面的機率為\(p\)，反面的機率為\((1-p)\)，將此枚銅板丟擲\(n\)次，在丟擲過程中，正面第一次出現時，可得獎金1元，正面第二次出現時，可再得獎金2元，正面第三次出現時，可再得獎金3元，以此類推。共得到獎金\(\displaystyle\frac{1}{2}(n^2-n)\)元的機率為何？
13.
如圖，\(\overline{AB}\)為圓\(O\)之直徑且直線\(L\)包含\(C\)、\(D\)、\(E\)三點。已知直線\(L\)垂直\(\overline{AB}\)的延長線於\(C\)點。又\(P\)、\(Q\)為圓\(O\)上兩點，\(\overline{PD}\)、\(\overline{QE}\)各垂直直線\(L\)於\(D\)點、\(E\)點，且\(\overline{BP}=\overline{PD}\)、\(\overline{BQ}=\overline{QE}\)。試證：\(\overline{BP}+\overline{BQ}=\overline{AB}\)。
14.
設\(A(1,0),B(0,1)\)為坐標平面上兩點，\(C\)為直線\(AB\)外一點，經平面線性變換\(M\)作用後，\(A\)被映射至\(A'(1,\sqrt{2})\)，\(B\)被映射至\(B'(-1,\sqrt{2})\)，而\(C\)被映射至\(C'\)。
①試問變換\(M\)的矩陣為何？
②試證明變換\(M\)將\(\triangle ABC\)的重心映射至\(\triangle A'B'C'\)的重心。
③若\(\triangle ABC\)的面積為3，試求點\(C'\)與直線\(A'B'\)的距離。
