1.
六點\(A,B,C,D,E,F\)依序排列在一條直線上，而點\(G\)為此直線外的一點。已知\(\overline{AC}=26\)，\(\overline{BD}=22\)，\(\overline{CE}=31\)，\(\overline{DF}=33\)，\(\overline{AF}=73\)，\(\overline{CG}=40\)且\(\overline{DG}=30\)。試求\(\triangle BGE\)的面積。
2.
試求滿足\(n+2\)能夠整除\(3(n+3)(n^2+9)\)的所有正整數\(n\)之和。
3.
由四個單位正方形組成一個\(2\times2\)的網格。對於構成該網格的12條邊，每條邊被塗成紅色或藍色，使得每個單位正方形都有2條紅色邊與2條藍色邊。下圖為其中一種滿足條件的著色方法(紅色為實線，藍色為虛線)。試求所有符合條件的著色方法數。
4.
已知乘積\(\displaystyle\prod_{k=4}^{63}\frac{\log_k(5^{k^2-1})}{\log_{k+1}(5^{k^2-4})}=\frac{\log_4(5^{15})}{\log_5(5^{12})}\times\frac{\log_5(5^{24})}{\log_6(5^{21})}\times\frac{\log_6(5^{35})}{\log_7(5^{32})}\times\cdots\times\frac{\log_{63}(5^{3968})}{\log_{64}(5^{3965})}\)之值等於\(\displaystyle\frac{m}{n}\)，其中\(m\)與\(n\)為互質的正整數。試求\(m+n\)之值。
乘積\(\displaystyle\prod_{k=4}^{63}\frac{\log_k(5^{k^2-1})}{\log_{k+1}(5^{k^2-4})}=\frac{\log_4(5^{15})}{\log_5(5^{12})}\cdot\frac{\log_5(5^{24})}{\log_6(5^{21})}\cdot\frac{\log_6(5^{35})}{\log_7(5^{32})}\cdots\frac{\log_{63}(5^{3968})}{\log_{64}(5^{3965})}=\)
。
(115南港高工，
https://math.pro/db/thread-4114-1-1.html)
5.
設\(\triangle ABC\)中\(\angle BAC=84^{\circ}\)，\(\angle ABC=60^{\circ}\)，\(\angle ACB=36^{\circ}\)，且點\(D,E,F\)分別為\(\overline{BC},\overline{AC},\overline{AB}\)的中點。已知\(\triangle DEF\)的外接圓分別交\(\overline{BD},\overline{AE},\overline{AF}\)於點\(G,H,J\)，且此圓被點\(G,D,E,H,J,F\)分成六個小圓弧，如下圖所示。試求\(\widehat{DE}+2\cdot\widehat{HJ}+3\cdot\widehat{FG}\)之值（弧長以度數計）。
6.
如圖所示，圓心\(A\)、半徑6的圓\(\omega_1\)內切於半徑15的圓\(\omega_2\)，切點為\(B\)。已知點\(C,D\)在圓\(\omega_2\)上，使得\(\overline{BC}\)是圓\(\omega_2\)的直徑且\(\overline{BC}\perp\overline{AD}\)，又\(EFGH\)是圓\(\omega_1\)的內接長方形，使得\(\overline{EF}\perp\overline{BC}\)，且\(\triangle DGF\)與\(\triangle CHG\)的面積相等。設長方形\(EFGH\)的面積等於\(\displaystyle\frac{m}{n}\)，其中\(m\)與\(n\)為互質的正整數。試求\(m+n\)之值。
7.
設\(A\)是2025所有正因數所成的集合，\(B\)是隨機從\(A\)取出的子集合。已知\(B\)不是空集合且滿足它的所有元素之最小公倍數為2025之機率是\(\displaystyle\frac{m}{n}\)，其中\(m\)與\(n\)為互質的正整數。試求\(m+n\)之值。
8.
從無窮多枚1分、10分與25分的美元硬幣中，西拉斯想要湊出總額為\(N\)分的組合，其中\(N\)為正整數。他使用的貪婪演算法是每次都選擇幣值不超過\(N\)的最大硬幣。例如，湊總額為42分時，他會選擇1枚25分硬幣、1枚10分硬幣、7枚1分硬幣（共使用9枚硬幣）。然而，若選擇4枚10分硬幣與2枚1分硬幣，就可用較少的6枚硬幣數達到相同總額。試問從1到1000中有多少個可能的\(N\)值滿足此種貪婪演算法可找到最佳解（亦即無法使用較少的硬幣數達到相同的總額\(N\)）？
9.
令函數\(f(x)=\sin(7\pi\cdot\sin(5x))\)。已知滿足\(\sin(7\pi\cdot\sin(5x))=0\)且\(0<x<2\pi\)的\(x\)值恰有\(n\)個，又這\(n\)個\(x\)值中滿足\(y=f(x)\)的圖形與\(x\)軸相切的\(x\)值恰有\(t\)個。試求\(n+t\)之值。
10.
有16張椅子排成一列，現有8個人每人選取一張椅子入坐，且沒有一人是緊鄰其他兩人。設\(N\)表示這8個人入坐16張椅子的所有方法數。試求\(N\)除以1000的餘數。
11.
設\(S\)為一個正24邊形的所有頂點所成的集合。已知能夠畫12條等長線段，使得\(S\)中的每個頂點恰好為一條線段的端點。試求其方法數。
12.
設\(A_1A_2A_3\ldots A_{11}\)為一個11邊非凸簡單多邊形，並且滿足以下條件：
(1)對於\(2\le i\le10\)，\(\triangle A_1A_iA_{i+1}\)的面積皆為1。
(2)對於\(2\le i\le10\)，\(\displaystyle\cos(\angle A_iA_1A_{i+1})=\frac{12}{13}\)。
(3)這個11邊形\(A_1A_2A_3...A_{11}\)的周長為20。
設\(\displaystyle\overline{A_1A_2}+\overline{A_1A_{11}}=\frac{m\sqrt{n}-p}{q}\)，其中\(m,n,p,q\)為正整數，且\(n\)不被任何質數的平方整除，且無質數同時整除\(m,p,q\)。試求\(m+n+p+q\)之值。
註：簡單多邊形是指多邊形的邊除了端點外都不相交。
13.
設有理數數列\(x_1,x_2,x_3,\ldots\)滿足\(\displaystyle x_1=\frac{25}{11}\)，且當\(k\ge1\)時\(\displaystyle x_{k+1}=\frac{1}{3}\left(x_k+\frac{1}{x_k}-1\right)\)。已知\(x_{2025}\)可表示為\(\displaystyle\frac{m}{n}\)，其中\(m\)與\(n\)為互質的正整數。試求\(m+n\)除以1000的餘數。
14.
設直角三角形\(ABC\)中，\(\angle A=90^\circ\)且\(\overline{BC}=38\)。這個三角形內部存在兩點\(K\)與\(L\)，滿足\(\overline{AK}=\overline{AL}=\overline{BK}=\overline{CL}=\overline{KL}=14\)。已知四邊形\(BKLC\)的面積可表示為\(n\sqrt{3}\)，其中\(n\)為正整數。試求\(n\)之值。
15.
已知恰有三個實數\(k\)，使得定義在正實數的函數\(\displaystyle f(x)=\frac{(x-18)(x-72)(x-98)(x-k)}{x}\)在恰好兩個正實數\(x\)處達到最小值。試求這三個\(k\)值之和。
