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115建國中學

weiye

瑋岳

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1^# 大中小發表於 2026-3-13 10:30 只看該作者

115建國中學

臺北市立建國高級中學115學年度第1次正式教師甄選數學科試題暨參考答案

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115建國中學_數學科試題暨參考答案.pdf (691.2 KB): 2026-3-13 10:30, 下載次數: 518

多喝水。

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bugmens

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2^# 大中小發表於 2026-3-13 11:35 只看該作者

3.
已知數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1,a_2=5\)，且\(\displaystyle \frac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}+2}=2\)，則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\dots+\sqrt{a_n}}{n^2}\)的值為　　　。

5.
已知\(z\)為複數，且\(\displaystyle \frac{z+1}{z-1}\)是純虛數，則\(|\;z^2-2z+3|\;\)的最小值為　　　。

設\(z\)為一複數，若\(\displaystyle \frac{z-1}{z+1}\)為純虛數，試求\(|\;z^2-z+2|\;\)的最小值。
(109嘉義高中代理，https://math.pro/db/thread-3369-1-1.html)

7.
在一個\(2\times 7\)的格子內填入數字\(a_{i,j}\in \{1,2,3\}\)，使其滿足\(a_{i,j}\le a_{i+1,j}\)且\(a_{i,j}\le a_{i,j+1}\)，則相異的填法數共有　　　種。

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Gary

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3^# 大中小發表於 2026-3-14 21:04 只看該作者

想問7 8 9 11跟計算二, 感謝各位老師

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thepiano

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4^# 大中小發表於 2026-3-15 07:55 只看該作者

回覆 3# Gary 的帖子

感謝 jimmy92888 老師的指正，小弟沒注意到有重複的

第 11 題
三數和 = 9，有 3 種
三數和 = 16，有 14 種
三數和 = 25，有 15 種
三數和 = 36，有 1 種
三數和是完全平方數，計有 33 種

三數均為完全平方數，有 1 種
三數中只有 1 個完全平方數，且乘積為完全平方數，有 6 種
三數中沒有完全平方數，且乘積為完全平方數，有 6 種
三數積是完全平方數，計有 13 種

其中 (1，3，12) 這組三數的和與乘積都是完全平方數

所求 = (13 + 33 -1 ) / C(13，3) = 45 / 286

[ 本帖最後由 thepiano 於 2026-3-15 21:07 編輯 ]

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peter0210

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5^# 大中小發表於 2026-3-15 10:38 只看該作者

115 建中 7.

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115建中7.png (28.33 KB)

2026-3-15 10:38

115建中7.png

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peter0210

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6^# 大中小發表於 2026-3-15 16:07 只看該作者

9.

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2026-3-15 16:07

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Jimmy92888

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7^# 大中小發表於 2026-3-15 20:58 只看該作者

回覆 3# Gary 的帖子

第8題
移項化簡，得
\(kx-(5\ln x+x^2-8x+a)\geq 0\)
令\(h(k)=kx-(5\ln x+x^2-8x+a)\)
對任一\(x\in(0,4]\)，對\(k\)而言，\(h(k)\)皆為斜率為正的直線
所以\(h(k)\)的最小值必發生在\(k=-1\)處
因此，僅需考慮對所有\(x\in(0,4]\)，\(-x^2+7x-5\ln x\geq a\)恆成立

令\(f(x)=-x^2+7x-5\ln x\)
透過微分，可知在\((0,4]\)，\(f(x)\)的最小值為\(f(4)=12-5\ln 4\)
故\(a\)的最大值為\(f(4)=12-10\ln 2\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2026-3-15 22:05 編輯 ]

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Jimmy92888

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8^# 大中小發表於 2026-3-16 05:52 只看該作者

回覆 3# Gary 的帖子

計算二
令\(H=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}\)
=> \(H=(1+\frac{1}{(p-1})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{p-2})+...=\frac{p}{1(p-1)}+\frac{p}{2(p-2)}+...\)
經過通分，分子可提出p，分母為1、2、…、p-1的乘積
所以，可寫成H\(=p \cdot \frac{A}{B}\)，其中B必不被p整除

化簡，得\(\frac{n^3}{(n-1)(n-2)}=n+3-\frac{1}{n-1}+\frac{8}{n-2}\)
分別處理三個區塊的和
令S1=(n+3)從n=3到n=p-1的和\(=\frac{p^2+5p-24}{2}\)
　S2=1/(n-1)從n=3到n=p-1的和\(=H-1-\frac{1}{p-1}\)
　S3=1/(n-2)從n=3到n=p-1的和\(=H-\frac{1}{p-2}-\frac{1}{p-1}\)
令S=S1-S2+8*S3
=> S\(=\frac{p^2+5p-24}{2}+7H+ 1 - \frac{7}{p-1} - \frac{8}{p-2}\)
考慮尚無法提出p的部分，通分後分子恰可消去常數，如下
\(-12+1-\frac{7}{p-1}-\frac{8}{p-2}=-\frac{11p^2-18p}{(p-1)(p-2)}\)
故S\(=\frac{p(p+5)}{2}+7p\cdot \frac{A}{B}-p\cdot \frac{11p-18}{(p-1)(p-2))}\)
通分化簡後，分子可提出p，
而分母為1、2、…、p-1的乘積，必不可與p約分，

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2026-3-16 06:06 編輯 ]

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peter0210

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9^# 大中小發表於 2026-3-16 15:48 只看該作者

請教第10題，感謝

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tsusy

寸絲

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10^# 大中小發表於 2026-3-17 12:51 只看該作者

回覆 5# peter0210 的帖子

填充7 另解. 將同一行的2格一起看，有
(上,下): (1,1),(1,2),(1.3),(2,2),(2,3),(3,3)，共6種情形
分別標記為 A (1,1)、B (1,2)、C(1,3)、D(2,2)、E(2,3)、F (3,3)

其中除了 C 、 D 不能共存外，其餘情外，皆需依字母序左到右排入(填入) 才能符合題目

故可分三類：有出現C、有出現D、CD皆沒有出現。以重複組合 (自動左到右排好順序) 計算列式如下

\( H^5_{7-1} + H^5_{7-1} + H^4_7 = 2 C^{10}_6 +C^{10}_7 = 2 \times 210 +120 = 540 \)

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