114屏科實中高中部

114屏科實中高中部教甄試題

7.
設\(x、y\in R\)，滿足\(x^2+(y+4)^2\le 1\)，則\(\displaystyle \frac{x+y-3}{x-y+1}\)之最大值及最小值？

設\(P(x,y)\)為\(x^2+(y-1)^2\le 1\)上任一點，則\(\displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3}\)之最大值=　　　，最小值=　　　。
(高中數學101　第60單元　圓(二)　圓與直線)

請教第 6 題

第 6 題
設\(\omega\)為1之\(n\)次方根，若\(k=1+2\omega+3\omega^2+\ldots+n\omega^{n-1}\)
求(1)\(k=\)　　　(以\(n\)、\(\omega\)表示)
　(2)請證明：\(\displaystyle \frac{n}{2}\le |\;k|\;\le \frac{n(n+1)}{2}\)
[解答]
注意到 \( wk=w+2w^{2}+3w^{3}+\ldots+nw^{n} \)

故 \( k-wk=1+w+w^{2}+...+w^{n-1}-nw^{n} \)

設 \( w\neq1 \)，則

\( k=\frac{1}{1-w}\left(\frac{w^{n}-1}{w-1}-nw^{n}\right)=\frac{-n}{1-w} \)

\( \Rightarrow|k|=\frac{n}{|1-w|}\geq\frac{n}{2} \)

另一方面 \( |k|\leq1+|2w|+|3w^{2}|+\ldots+|nw^{n-1}|=\frac{n(n+1)}{2} \)

而若 \( w=1 \)，則 \( k=\frac{n(n+1)}{2} \)，此時亦滿足不等式 \( \frac{n}{2}\leq k\le n \)