3.
設\(f(x)=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-2x+4}\)，當\(x=a\)時，\(f(x)\)有最小值\(b\)，則數對\((a,b)=\)
。
(我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)
5.
若\(10^n\cdot (C_1^{2025}-3C_3^{2025}+5C_5^{2025}-7C_7^{2025}-\ldots -2023C_{2023}^{2025}+2025C_{2025}^{2025})\)為整數，則整數\(n\)的最小值為
。
6.
若依照數字排列的規律將下列表格填滿，則第11列中所有數字的總和為
。
\(\matrix{&第1行&第2行&第3行&\ldots&&&第20行\cr
第1列&1&2&4&7&11&\ldots&\cr
第2列&3&5&8&12&&&\cr
第3列&6&9&13&&&&\cr
\vdots&10&14&&&&&\cr
&15&&&&&&\cr
&\vdots&&&&&&\cr
第20列&&&&&&&}\)
(我的教甄準備之路 找出圖形的規律，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)
9.
如圖，\(ABCD-EFGH\)為一邊長為1的正立方體。\(P\)、\(Q\)、\(R\)、\(S\)四動點分別在\(\overline{AF}\)、\(\overline{BG}\)、\(\overline{CH}\)、\(\overline{DE}\)上，且四邊形\(PQRS\)平行正方體的底面\(ABCD\)，則當\(P\)點從\(A\)點沿著\(\overline{AF}\)移動到\(F\)點時，四邊形\(PQRS\)的軌跡形成的立體圖形體積為
。
三、大考試題講解
1.
112年分科測驗數學甲的單選第3題的題目如下：
\(\bbox[border:1px solid black]{\matrix{\displaystyle 3.試問極限\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2}\left( \sqrt{4n^2+9 \times 1^2}+\sqrt{4n^2+9 \times 2^2}+\cdots+\sqrt{4n^2+9 \times (n-1)^2}\right)
的值可用下列哪一個定積分表示？\cr
(1)\int_{0}^{3} \sqrt{1+x^2} \,dx (2)\int_{0}^{3} \sqrt{1+9x^2} \,dx (3)\int_{0}^{3} \sqrt{4+x^2} \,dx (4)\int_{0}^{3} \sqrt{4+9x^2} \,dx (5)\int_{0}^{3} \sqrt{4x^2+9} \,dx}}\)
(1)試寫出詳細的解題步驟，並加以說明如何引導學生這一題的解法。
(2)若延伸此題如下，試寫出詳細的解題步驟。
\(\bbox[border:1px solid black]{設\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{3}{n^2}\left( \sqrt{4n^2+9 \times 1^2}+\sqrt{4n^2+9 \times 2^2} +\cdots+\sqrt{4n^2+9 \times (n-1)^2} \right)=\int_{0}^{2} f(x) \, dx，試寫出f(x)。}\)
