114嘉義女中

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數學科第一大題填充題第3小題解答有更正。

4.
若\(\left[\matrix{\displaystyle 1&\frac{2}{21}\cr 0&\frac{22}{21}}\right]^n=\left[\matrix{a_n&c_n\cr b_n&d_n}\right]\)，\(n\in \mathbb{N}\)，則當\(n\)的取值最少為　　　時，\(c_n\)開始會大於\(d_n\)。

10.
在複數平面上，若已知\(|\;z|\;=1\)，試求\(|\;z^2+z-6|\;\)的最大值為　　　。
(類似問題，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=1#pid3600)

11.
若實數\(a\)、\(b\)滿足\(\cases{a^3-6a^2+15a+2025=0\cr b^3-15b^2+78b-2179=0}\)，試求\(a+b\)的值為　　　。

計算三，分享一種不需求出三條交線方向向量的做法，如有誤，歡迎指正

這是家氏幸福提供的詳解
我跟辦公室同事組成的團體

令a=A+2代入(1) ,得A^3+3A+2039=0----------(3)
即A=a-2為(3)的一根
令b=B+5代入(2) ,得B^3+3B-2039=0-----------(4)
即(-B)=5-b為(-B)^3+3(-B)+2039=0的一根
則a-2=5-b,得a+b=7

想請教一下8和計算1,謝謝老師！

計算第 1 題
已知\(\triangle ABC\)中，\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)的對邊為\(a\)、\(b\)、\(c\)(\(a\ne b\))，且\(\angle A=\alpha\)，\(\angle B=\alpha-2\beta\)；有另一個\(\triangle A'B'C'\)，\(\angle A'\)、\(\angle B'\)、\(\angle C'\)的對邊為\(a'\)、\(b'\)、\(c'\)，且\(\angle A'=\alpha-\beta\)，\(\angle B'=\beta\)，其中\(0^{\circ}<2\beta<\alpha<180^{\circ}\)
試證明：\(\displaystyle \frac{a'^2+c'^2-b'^2}{b'^2+c'^2-a'^2}=\frac{a+b}{a-b}\)
(證明題，8分。請勿將\(\alpha,\beta\)以帶入特別角的方式進行驗證)
[解答]
(a’^2 + c’^2 - b’^2) / (b’^2 + c’^2 - a’^2)
=2a’c’cos β / [2b’c’cos(α - β)] ，餘弦定理
= a’cos β / [b’cos(α - β)]
= sin(α - β)cos β / [sin βcos(α - β)]，正弦定理
= (1/2)[sin α + sin(α - 2 β)] / {(1/2)[sin α + sin(2 β - α)]}，積化和差
= [sin α + sin(α - 2 β)] / [sin α - sin(α - 2 β)]
= (a + b) / (a - b)，正弦定理

謝謝thepiano老師！