114中崙第二次

第二次

填充第 10 題
請問題目是否要把 1 改成 -1 才能算出正確答案？

補充：已解決。
如果三角形ABC的頂點是順時針排列，就可以製造出符合題意的多邊形，並算出面積。

[ 本帖最後由 Superconan 於 2025-7-10 14:21 編輯 ]

一、填充題
1.
下圖是一個直徑為10的半圓，圖中每條線段都互相平行，且距離為1，則鋪色區域繞\(x\)軸旋轉體體積為　　　。

7.
已知\(x,y,z\)滿足\(\cases{\displaystyle \frac{1}{x-2y}+\frac{2}{y-2z}+\frac{3}{z-2x}=-2\cr \frac{2}{x-2y}+\frac{3}{y-2z}+\frac{1}{z-2x}=-3\cr \frac{3}{x-2y}+\frac{2}{y-2z}+\frac{1}{z-2x}=-4}\)，則\(x+y+z=\)　　　。

11.
三角形\(ABC\)中，\(R\)為其外接圓半徑、\(r\)為其內切圓半徑，則\(\displaystyle \frac{R}{r}\)的最小值為　　　。
歐拉不等式的另證https://www.math.sinica.edu.tw/media/pdf/d454/45407.pdf

二、計算證明題
1.
(1)若整數\(n\)滿足\(n^3-13n-9\)為質數，則\(n\)的值為多少？
(2)承上題，請證明你的答案是正確的。

請教填充第十題
謝謝。

[ 本帖最後由 mojary 於 2025-7-11 11:24 編輯 ]

抱歉排版有點亂，請見諒


[ 本帖最後由 comefood 於 2025-7-11 12:30 編輯 ]

填充10.
已知的行列式相加，透過補項，可以寫出 \( \triangle ABC \) (有號)面積

\( \begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\
b_{1} & b_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_{1} & b_{2}\\
c_{1} & c_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c_{1} & c_{2}\\
d_{1} & d_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}d_{1} & d_{2}\\
a_{1} & a_{2}
\end{vmatrix} \)

\( = \begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\
b_{1} & b_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_{1} & b_{2}\\
c_{1} & c_{2}
\end{vmatrix}+\left(\begin{vmatrix}c_{1} & c_{2}\\
a_{1} & a_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\
c_{1} & c_{2}
\end{vmatrix}\right)+\begin{vmatrix}c_{1} & c_{2}\\
d_{1} & d_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}d_{1} & d_{2}\\
a_{1} & a_{2}
\end{vmatrix} \)

\( = \left(\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\
b_{1} & b_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_{1} & b_{2}\\
c_{1} & c_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c_{1} & c_{2}\\
a_{1} & a_{2}
\end{vmatrix}\right)+\left(\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2}\\
c_{1} & c_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c_{1} & c_{2}\\
d_{1} & d_{2}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}d_{1} & d_{2}\\
a_{1} & a_{2}
\end{vmatrix}\right)=2\triangle ABC + 2\triangle ACD \)
ABC、ACD 順逆相反，上式的有號面積，一個正、一個負

再從向量的式子，換成圖形上長度關係(分點公式、係數積)
會有 \( |\triangle ACD| = 5 \times \frac35 |\triangle ABC| = 2 |\triangle ABC| \)

故 \( 4|\triangle ABC| = 1 \Rightarrow |\triangle ABC| = \frac14 \)

填10

想請教計算証明題第2小題， 謝謝

計算證明 (2)
n^3 - 13n - 9
= n(n - 1)(n + 1) - 6(2n + 2) + 3 為 3 的倍數
除了 3 以外，它一定不是質數

解 n^3 - 13n - 9 = 3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-7-15 13:04 編輯 ]

想請教填充3.6

謝謝老師