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原帖由 weiye 於 2025-3-16 08:56 發表 
國立高科實驗高級中學 國中部
填7
除了用費馬點解法,這裡提供純代數解法
x²+ xy+y²=19----------(1)
y²+ yz+z²=28----------(2)
z²+ zx+x²=37----------(3)
(1)-(2)得 (x-z)(x+y+z)=-9----------(4)
(2)-(3)得 (y-x)(x+y+z)=-9----------(5)
(3)-(1)得 (z-y)(x+y+z)=18----------(6)
(1)+(2)+(3)得
2x²+2y²+2z²+xy+yx+zx=84-----------(7)
令x+y+z=k>0，則
x²+y²+z²+2xy+2yx+2zx=k²------------(8)
(7)-(8)得
(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=168-2k²---------(9)
將(4),(5),(6)代入(9)得
(9/k)²+(18/k)²+(9/k)²=168-2k²
解出所求k=9或√3(代入原式不合)
