113中科實中

　

4.
求值：\(\displaystyle \sum_{n=1}^{25}\left(\frac{1}{1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5+\ldots+n(n+1)}\right)=\)　　　。
我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678

14.
在立方體的展開圖裡，有多少個　　　不同形狀(不能相疊重合)。
https://www.learnmode.net/flip/video/13821

16.
平面上有8個圓，其中每兩個圓相交且任三個圓不通過同一點，這8個圓將平面分成幾部分　　　。
圓：\(2+2C_{2}^{n}={{n}^{2}}-n+2\)https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2506&page=1#pid15390
相關題目https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid4597

應該如何做比較有效率的解題，我只想的到一個個列，感謝大家

填充1. 分成兩步

將三邊長寫作 \( a, b, c \)
第一步，先不管三角不等式，先只考慮 \( a, b, c \) 的組合數，
可以分三異、恰兩同、三同，得組合數為 \( \frac{100\cdot99\cdot98}{6}+100\cdot99+100=171700 \)

第二步，把剛才組合中，不構成三角形的扣除。
不失一般性假設 \( a \le b \le c \)，令 \( n = a+b \)
當 \( n \le c \le 100 \) 時，\( a, b, c \) 無法構成一個三角形

而 \( a+b =n \) 的組合數為 \( [\frac{n}{2}] \)
故 \( a, b, c \)  的組合中，不構成三角形的有 \( (1\cdot99+1\cdot98+2\cdot97+2\cdot96+\cdots+49\cdot3+49\cdot2)+50\cdot1 \)
上式的 99 項分別是 \( n=2,3,...,100 \) 時的組合數，每項相乘的兩數，前者為 \( a+b =n \) 的組合數，後者是滿足 \( n \le c \le 100 \), \( c \) 的個數。

故所求 \( \displaystyle = 171700 - \sum\limits _{k=1}^{49}k(201-4k) -50 = 87125 \)

整理了中科實中填充題解答 不確定有沒有寫錯 供參~
謝謝chu老師的補充~

[ 本帖最後由 ruee29 於 2024-8-9 14:13 編輯 ]

把它補完吧!