113高雄市高中聯招

想請問  老師 4  14  15  16

9.
若\(\vec{a}=(-2,2,1),\vec{b}=(1,3,2),\vec{c}=(-2,3,1)\)，則當\(|\;\vec{a}-s\vec{b}-t\vec{c}|\;\)有最小值時，\((s,t)=\)　　　。

設\(\vec{a}=(1,5,7),\vec{b}=(3,4,5),\vec{c}=(1,1,1)\)，且\(x,y\)為實數，則\(|\;\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}|\;\)之最小值為　　　。
(102北一女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1568&page=2#pid7735)
另解，看成點到平面的距離https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1568&page=1#pid7734
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957

11.
將表示式\((x+y+z)^{2024}+(x-y-z)^{2024}\)展開並合併同類項，試問化簡後共有多少項　　　。
連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_24
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262

12.
設\(a,b\)皆表實數，且滿足\(\displaystyle sin a+sin b=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\displaystyle cos a+cos b=\frac{\sqrt{6}}{2}\)，則\(sin(a+b)\)之值為多少　　　。
(96年度中山大學雙週一題，連結有解答https://math.pro/db/thread-482-1-1.html)

16.
箱中有編號1號到7號的7顆大小相同的球，每次從箱中任取一球，再放回箱中，重複取球\(n\)次，並記錄這\(n\)次取球的數字總和為\(S_n\)，假設\(S_n\)除以3餘1的機率為\(P_n\)，試求出\(P_n\)(以\(n\)表示)　　　。

不透明箱內有編號分別為1至9的九個球，每次隨機取出一個，紀錄其編號後放回箱內；以\(P(n)\)表示前次取球的編號之總和為偶數的機率。求\(P(n)\)？(以\(n\)表示)。
(99鳳新高中，連結有解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089)

第 4 題
\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}=\left(1+\frac{1}{2024}\right)^{2024}\)，求\(x=\)　　　。
[解答]
1 + 1/x = [x/(x + 1)]^(-1) = [1 - 1/(x + 1)]^(-1) = [1 + 1/-(x + 1)]^(-1)
(1 + 1/x)^(x + 1) = [1 + 1/-(x + 1)]^[-(x + 1)]
-(x + 1) = 2024
x = -2025

第 14 題
若連續自然數的數列\(a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots\)滿足\(\displaystyle log2+log\left(1+\frac{1}{a_1}\right)+log\left(1+\frac{1}{a_2}\right)+\ldots+log\left(1+\frac{1}{a_n}\right)=logn\)，則當此數列有最多項數為\(m\)項時，此自然數數列和\(S_m\)是多少　　　。
[解答]
2 * [(a_1 + 1)/a_1] * [(a_1 + 2)/(a_1 + 1)] * … * [(a_1 + n)/(a_1 + n - 1)] = n
2 * (1 + n/a_1) = n
n = 2/(1 - 2/a_1)
a_1 = 3 時，n 有最大值 6
所求 = 3 + 4 + … + 8 = 33

第 15 題
設複數\(z\)滿足主幅角\(\displaystyle Arg(z+3)=\frac{3}{4}\pi\)，則\(\displaystyle \frac{1}{|\;z-3i|\;+|\;z+6|\;}\)的最大值是　　　。
[解答]
z 在射線 y = -(x + 3) (x < -3) 上
|z - 3i| + |z + 6| = z 到 (0，3) 與到 (-6、0) 距離和
最小值 = √(6^2 + 3^2) = 3√5
所求 = √5/15

#16

#10
一座標平面上，\(O\)為原點，點\(A_1\)、\(A_2\)在正向\(x\)軸上，點\(B_1\)、\(B_2\)在正向\(y\)軸上，\(\overline{A_1B_1}=\overline{A_2B_2}=26\)，\(\angle B_2A_2O=2\angle B_1A_1O\)，且\(\triangle B_2A_2O\)的面積為120，則\(\triangle B_1A_1O\)的面積為多少　　　

仿102數B統測試題
https://exam2.tcte.edu.tw/EXAM/102_4y/102-4y-00-mb.pdf

教甄也放統測試題了
不過這題也是當年最難之一
當年102數B只有12個100分
全國平均37點多,探低點
可別以為最低
隔年103數B全國平均掉到34點多

填充16
箱中有編號1號到7號的7顆大小相同的球，每次從箱中任取一球，再放回箱中，重複取球\(n\)次，並記錄這\(n\)次取球的數字總和為\(S_n\)，假設\(S_n\)除以3餘1的機率為\(P_n\)，試求出\(P_n\)(以\(n\)表示)　　　。
[解答]

想請問第6和13題

第 6 題
設\(m\)為實數，已知直線\(x+my=0\)過定點\(A\)，另一直線\(mx-y-m+3=0\)過定點\(B\)，兩直線交於點\(P(x,y)\)，則線段乘積\(\overline{PA}\cdot \overline{PB}\)的最大值為　　　
[解答]
x + my = 0，過定點 A(0，0)
mx - y - m + 3 = 0，過定點 B(1，3)

易知兩直線垂直
PA^2 + PB^2 = AB^2 = 10

√(PA^2 * PB^2) ≦ (PA^2 + PB^2)/2
PA * PB ≦ 5


第 13 題
在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=2\)，\(\overline{BC}=1\)，\(\overline{CA}=\sqrt{3}\)，分別在三邊\(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CA}上\)分別各取一點\(D,E,F\)，使得\(\triangle DEF\)為正三角形。設\(\angle FEC=\theta\)，當\(sin\theta\)為多少時，\(\Delta DEF\)周長最短　　　。
[解答]
令 EF = x，CE = xcosθ
∠DEF = ∠DBE = 60 度
∠BDE = ∠FEC = θ

由正弦定理
BE/sinθ = DE/sin60度
BE = (2/√3)xsinθ

xcosθ + (2/√3)xsinθ = 1
x = 1/[cosθ + (2/√3)sinθ] = √3/(2sinθ + √3cosθ] = √3/[√7sin(θ + α)]
當 sin(θ + α) = π/2 時，x 有最小值
此時 sinθ = cosα = 2/√7