112關西高中

國立關西高級中學112學年度第1次教師甄選題目試卷(含答案)。
原檔案太大無法直接上傳，所以我將其拆成兩個檔案。

計算3:
已知在停車場中有編號1號到5號的五個未停車的停車格，現在有五輛車依序入場停車。每輛車的駕駛入場前各自在心中先選定1~5號的一個號碼(可重複)，入場後就停入一開始所選號碼的車位，若規定停車時發現預定要停的車位已經停了其他車，則就停下一個號碼的車位，若無車位可停就無法停車。例如：選3號的車入場時發現3號已經停車了，就停入4號車位；若3號、4號都停車了，就停入5號車位；但若發現3號、4號、5號都停車了，就無法順利停入。所以例如一開始五位駕駛依序選定的號碼為1、4、2、2、5，則四輛車可順利停車；但如果選的四個號碼為2、2、4、3、3，則無法順利停車。試問五位駕駛共有幾種依序選定號碼的方法，可以讓五輛車順利停車。
[解答]
是Parking Function
當n=5,答案是(5+1)^(5-1)=6^4=1296

二、填充題
5.
\(\Delta ABC\)中，\(A(4,-1)\)，\(\angle B,\angle C\)內角平分線方程式分別為\(2x-y+1=0\)、\(x-1=0\)，則直線\(BC\)的方程式為　　　。

\(\Delta ABC\)中，\(A(2,-4)\)，若\(\angle B\)、\(\angle C\)之角平分線分別為\(L_1\)：\(x+y-2=0\)及\(L_2\)：\(x-3y-6=0\)，則\(\overline{BC}\)之方程式為　　　。
(101文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=3#pid5286)

7.
若\(a,b,c\)為\(x^3-5x^2-3x+7=0\)的三根，則\(\left|\ \matrix{a-b-c&2a&2a\cr 2b&b-c-a&2b \cr 2c&2c&c-a-b}\right|\)的值=　　　。

10.
動物學家以老鼠為實驗對象進行一項記憶實驗，測試其在迷宮中記憶行為。經實驗，已知老鼠從迷宮某處出發，該處僅能往左及往右兩個方向前進。若往左走則經過10分鐘後會回到原地，若往右走則有\(\displaystyle \frac{2}{3}\)的機率於5分鐘後回到原地，\(\displaystyle \frac{1}{3}\)的機率於15分鐘後走出迷宮；假設老鼠向左走的機率為0.4，問老鼠能夠走出迷宮所花費時間的期望值為　　　分鐘。
相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid1475

三、計算證明題
1.
\(\Delta ABC\)中，已知\(P\)為\(\Delta ABC\)內一點，\(\overline{AB}=35,\overline{AC}=56,\angle BAC=60^{\circ},\overline{AP}=15,\overline{BP}=25\)，試求\(\overline{CP}\)的值。

\(\Delta ABC\)中，已知\(P\)為\(\Delta ABC\)內一點，\(\overline{AB}=35,\overline{AC}=56,\angle BAC=60^{\circ},\overline{AP}=15,\overline{BP}=25\)，試求\(\overline{CP}\)的值。
[解答]
cosPAB=(3^2+7^2-5^2)/(2*3*7)=11/14
cosPAC=cos(60度 -PAB)=cos60度cosPAB+sin60度sinPAB=1/2*11/14+ㄏ3/2*5ㄏ3/14=13/14
CP=ㄏ(56^2+15^2-2*56*15*cosPAC)=ㄏ1801

二.填充1.
去掉含有比7大的質因數之正整數，剩下的正整數由小到大排成一數列\(\langle\;b_k\rangle\;=\langle\;1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,24,25,\ldots \rangle\;\)，則\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{b_k}=\)　　　。
[解答]
所求=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+..)(1+1/5+...)(1+1/7+...)
=1/(1-1/2)*1/(1-1/3)*1/(1-1/5)*1/(1-1/7)=2*3/2*5/4*7/6=35/8

想問填充6 我幾何真的好差

填充第 6 題
∠CAE = ∠CDB
△CAE、△CDB、△BDE 均相似
BC / BD = BE / DE
令 BC = CD = ax，CE = 11x，BE = BD = 30x
(ax) / (30x) = (30x) / [(a + 11)x]
a = 25

BC：CD：BD = 5：5：6
sin∠BCD = 24/25
BD = 2sin∠BCD = 48/25

謝謝鋼琴老師 知道第一句後就茅塞頓開了！

不好意思，想請問填充第8題和第11題，謝謝

第 8 題
分子和分母都換底，約掉 log2023，剩下的柯西不等式

第 11 題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=33553#p33553

謝謝鋼琴老師