109台中一中數理資優

想詢問各位老師12和16題，感謝指導~~

12.
設\(n\)是正整數且使得\((31.5)^n+(32.5)^n\)為正整數，則所有可能值\(n\)的總和為　　　。
[提示]
考慮(32+0.5)^n+(32-0.5)^n

12.
設\(n\)是正整數且使得\((31.5)^n+(32.5)^n\)為正整數，則所有可能值\(n\)的總和為　　　。
[解答]
有錯還請指教
\(\displaystyle (32+\frac{1}{2})^n+(32-\frac{1}{2})^n\)，易知\(n\)為奇數
利用二項式定理化簡展開
可得\(\displaystyle 2\cdot 32^n +2\ C^n_{2} (\frac{1}{2})^2 \cdot 32^{n-2}+\cdots +2\ C^n_{n-1} (\frac{1}{2})^{n-1} \cdot 32\)

可知\(\displaystyle 2\times (\frac{1}{2})^{n-1} \cdot 32 \in \mathbb{N} \Rightarrow n-1<6 \Rightarrow n<7 \)
取\(n=1,3,5\)，總和9

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感謝cut6997老師的指正

16.
求方程式\(\sqrt{2x^2+x+5}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x^2-3x+13}\)的所有實數解(根)之和為　　　。(化為最簡分數)
[解答]
令\(\displaystyle A=\sqrt{2x^2+x+5}, B=\sqrt{x^2+x+1}\)
原式=\(\displaystyle A+B=\sqrt{4A^2-7B^2}\)
\(\Rightarrow \displaystyle 3A^2-2AB-8B^2=0\)
\(\Rightarrow  \displaystyle (3A+4B)(A-2B)=0\)
\(\Rightarrow  \displaystyle A=2B \ or   A=\frac{4}{-3}B\) (後者不合)
利用\(\displaystyle A=2B \Rightarrow 2x^2+x+5=4x^2+4x+4 \Rightarrow 2x^2+3x-1=0\)
所求兩實根和為\(\displaystyle \frac{-3}{2}\)

尾項應是 2C(n,1)*0.5^(n-1)*32,得n=7